Памяти Якова Моисеевича Дубинера, моего школьного учителя математики, посвящается

 

Видим  ли мы архитектуру всесторонне? Видим ли в ней, в частности, гармонию инженерии и искусства?

Как известно, в знаменитой триаде Витрувия «Прочность. Польза. Красота», отвечающей на вопрос – «Что есть архитектура?»  – инженерия  стоит на первом месте.

Увидеть архитектуру еще и с инженерной стороны – это  значит восхититься ею более. Но новое видение не дается даром.

Настоящая публикация и есть «дорога вверх в области прочности», поданная в минимальном объеме и наиболее прозрачной форме. 

Публикуемый ниже материал является «прочностным ликбезом» для более полного понимания архитектуры. Может быть, он даже вызовет у некоторых удивление: «Сопромат – это, оказывается, так просто!».

 

Я инженер-строитель. Однако, тяга к архитектуре, общение с архитекторами, их профессиональными проблемами позволили мне ощутить «нейтральную полосу» взаимного непонимания архитекторов и инженеров. Преодолеть ее, как считаю, можно лишь обучением инженерии архитекторов.

Чтение курса у архитекторов, как это традиционно делается на инженерных кафедрах, не вызывало у студентов живого интереса: молодые люди, гуманитарии в своем большинстве, явно тяготели к изобразительной стороне архитектуры, руководствуясь, в основном, интуицией.

Вызвать интерес к инженерии можно было коренным изменением методики преподавания. Всякий раз, готовясь к занятиям, я задумывался, как направить инженерные вопросы на удовлетворение профессиональных потребностей будущих архитекторов. Было ясно: необходимо опереться на те способности, которые у них наиболее развиты – на пространственное воображение. Следовало перенести вопросы прочности с языка математической аналитики на язык геометрических представлений, дать главнейшим понятиям теории прочности зрительно воспринимаемое толкование.

Речь не могла идти об инженерном мышлении в широком смысле слова. Такое мышление, многогранное, учитывающее смежные строительные дисциплины, вплоть до изучения социального заказа общества, рождается годами профессиональной работы. В данном случае, студенты обучались лишь умению пользоваться принципами формообразования несущих конструкций по условию снижения теоретического расхода материала. Но и это давало хороший старт, ускоряло постижение «инженерной мудрости» в широком смысле слова.

Предлагаемое отнюдь не является учебником для студентов. Оно направлено на ускорение развития индивидуальных способностей будущих специалистов: освобождение от рассмотрения ряда аналогов (обычно называемых вариантами) с их расчетом и выбором наилучшего. Мышление, прочно опирающееся на теоретическую базу, позволяет на уровне логики идти в правильном направлении до тех пор, пока приходится останавливаться не от незнания дельнейшего пути развития конструкции, а по привходящим условиям возможности ее возведения подрядчиком.

Не отступая от строгих теоретических положений, я постарался сделать материал доступным кругу читателей, интересующихся архитектурой и стремящихся глубже понять идеи, заложенные зодчими в наиболее известные объекты архитектуры.

Для студентов этот материал поможет облегчить изучение курсов сопротивления материалов и стальных конструкций.

Надеюсь, что освоение предлагаемого материала обогатит внутренний мир читателя, позволит ему лучше понимать окружающую среду, как искусственно созданную, так и природную.  понимание, как известно, рождает интерес и дает пищу уму.

 

Основные представления

о несущей способности элементов конструкций

 

Рассмотрены виды деформаций, наиболее часто встречающиеся в проектной практике. Этот материал можно найти и в учебниках курса сопротивления материалов. Но в них формулируют предпосылки расчета, затем немедленно переходят к его математическому описанию и далее – к алгоритму расчета.

Следствия из алгоритмов  расчета в область архитектуры почти не рассматриваются.

Ничего удивительного в сказанном нет: учебники по прочности пишутся инженерами.

Процесс же проектирования состоит в том, что зодчие решают задачу нахождение формы конструкции, наиболее полно отвечающей архитектурным требованиям среды, включающим множество привходящих факторов. Далее, инженеры, взяв предложенное архитектором, рассчитывают его и доводят несущую конструкцию до уровня рабочих чертежей.

Отсюда и подчинение содержания учебников инженерным задачам.

Курсы строительных конструкций, продолжающие курсы теоретические прочностные, казалось, должны  освещать вопросы формообразования конструкций в область архитектуры. Но они перегружены рекомендациями из строительных норм и правил, обеспечивающие надежность конструкции в заранее предусмотренные сроки эксплуатации.

Строительные же нормы и правила, будучи юридическим документом, отражаются в своде пунктов сухих требований, нарушение которых уголовно наказуемо.

Задача предлагаемого материала в том, чтобы «развернуть» основные понятия теории прочности в сторону творческого архитектурного или инженерного поиска, когда приходится работать в условиях значительной неопределенности.

Здесь наилучшие результаты дает направленный поиск в многомерном пространстве факторов, основанный на грамотной качественной ориентации. Такое умение достигается, прежде всего, познанием следствий из фундаментальных  понятий теории прочности.

 

Модуль упругости материала, площадь поперечного сечения,

момент сопротивления и момент инерции сечения

 

Цель раздела – дать прозрачную трактовку важнейшим понятиям науки о сопротивлении материалов

Несущая способность  элемента конструкции по условию прочности или жесткости определяется двумя факторами: геометрией элемента (его формой и размерами) и его материалом (его физико-механическими свойствами). В связи с этим, нужно видеть в расчетных формулах «геометрическую прочность» (коль геометрия влияет на несущую способность конструкции) и «геометрическую жесткость» (коль геометрия влияет и на жесткость конструкции), «материальную прочность» (коль прочность материала влияет на его несущую способность) и «материальную жесткость» (коль жесткость материала влияет на жесткость конструкции). В литературе такие термины не приняты, но они, не противореча духу строительной механики, окажутся нам весьма полезными, позволяя сделать рассуждения более прозрачными.

В качестве материала выбираем сталь.

 

 Деформация растяжения

 

Смысл сказанного легче всего воспринять на  примере деформации растяжения.

Под геометрической прочностью будем понимать площадь поперечного сечения (A), под материальной прочностью – расчетное сопротивление стали (R_y). Для выбранного материала стержней их несущая способность будет зависеть лишь от величины площади поперечного сечения. Форму этой площади будем считать не влияющей на несущую способность стержня: напряжения при осевом растяжении распределены по сечению равномерно.

Расчетная несущая способность (способность надежно воспринимать нагрузку по условию прочности) имеет вид произведения геометрической прочности на прочность материальную:

N = A R_y

Можно дать неожиданное понятие площади поперечного сечения при растяжении: площадь поперечного сечения, как геометрическую прочность сечения, можно представить как «силу», развивающуюся в сечении при  равномерно распределенных по нему нормальных (normalis – в геометрии – перпендикулярный) «напряжениях», равных единице:

N = A·1.

Несомненно, понятие площади плоской фигуры известно всем со ремен школьной скамьи. И предложенная трактовка, хотя формально и правильная (при R_y=1, N=A), кажется надуманной. Но эта трактовка поможет в дальнейшем воспринять в едином ключе другие геометрические характеристики сечений при других видах напряженного состояния.

Под геометрической жесткостью будем также понимать площадь поперечного сечения – A. Здесь эта величина выступает в другом качестве: стержень с увеличенной площадью поперечного сечения будет в большей мере сопротивляться удлинению.

Это понятно: чем больше, например, резиновых жгутов в эспандере, тем больше их суммарная площадь поперечного сечения, тем труднее задать ему определенное удлинение.

Под материальной жесткостью подразумевается модуль (modulus – мера) упругости материала E. Его устанавливают, сообщая образцу материала определенное, оговоренное в инженерной среде, относительное удлинение и измеряя напряжения, развивающиеся в материале при таком удлинении. Наиболее удобным относительным удлинением является значение, равное единице.

Известно, что относительное удлинение есть отношение приращения длины растянутого образца Dl к его исходной длине l:

e =Dl/l .

 

 

Для нахождения модуля упругости материала принято относительное удлинение, равное единице.

Например, эластичной резине, длиной, положим, 10 см сообщают приращение длины, равное также 10 см, то есть, удлиняя до 20 см. Определяют растягивающую силу N, требуемую для удержания образца в таком состоянии. Разделив силу на площадь поперечного сечения образца в исходном состоянии (утоньшение образца за счет растяжения не учитывается), определяют нормальные напряжения в поперечном сечении:

s = N/A .

 Это напряжение и есть модуль упругости резины. Следовательно, модуль упругости имеет размерность напряжений, например, кН/см².

Удобство пользования такой величиной в том, что с нею легко определить напряжения, возникающие в материале при любом другом относительном удлинении. Важно лишь, чтобы материал работал упруго – полностью возвращался к исходной длине.

Например, при относительном удлинении 0,5 напряжения составят половину модуля упругости.

В общем случае напряжения при растяжении определяются простой зависимостью:

s = Ee.

Разумеется, стали нельзя сообщить удлинение, равное единице: стальной  метровый стержень до двухметровой длины не растянешь. Но можно сообщить ему то возможное относительное удлинение, при котором сталь будет работать еще упруго, например, в тысячу раз менее единицы. при таком относительном удлинении в поперечном сечении образца, изготовленного из различных сталей, получим нормальные напряжения  около 20 кН/см². Увеличив их в тысячу раз, получим величину модуля упругости стали, равную примерно 20000 кН/см².

Напомним, что для разных по прочности сталей модуль их упругости изменяется мало и зачастую принимается величиной постоянной.

 

Деформация изгиба. Момент сопротивления сечения

 

Переходим к деформации изгиба. В курсе сопротивления материалов приняты два основных допущения:

·        Материал работает упруго.

·       Сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (так называемая «гипотеза плоских сечений»).

При изгибе появляются с одной стороны от нейтральной оси сечения растяжение, а с противоположной – сжатие.  Изменение напряжения по высоте сечения легко установить с помощью приведенных выше предпосылок.

Предположим, балка прямоугольного поперечного сечения испытывает так называемую деформацию чистого изгиба – путем приложения к концам сосредоточенных моментов. (См. рис ниже).

 

В этом случае волокна балки, прямые до деформации, становятся дугами концентрических окружностей. Срединные по высоте балки волокна не изменят свою   длину.

Длины дуг, образованных другими волокнами, изменяются по линейному закону, в прямой зависимости от расстояния их от центра концентрических дуг. Памятуя о том, что удлинение на среднем уровне (на нейтральной оси сечения) нулевое, получаем график изменения приращения длин остальных волокон (абсолютных деформаций) балки Dl. Ординаты графика, отложенные выше нулевой линии, соответствуют растяжению материала, ниже – сжатию.

 

 

Такой же вид будет иметь и график относительных деформаций (удлинений) e  волокон и график напряжений в сечении.

s = Ee .

 

Напряжения в сечении, своими равнодействующими в растянутой и сжатой зоне уравновешивают внешнюю нагрузку. Эти напряжения перпендикулярны плоскости сечения, поэтому  называются нормальными. Чем больше нормальные напряжения в поперечном сечении балки, тем больший изгибающий момент от внешних сил воспринимает сечение.

Наибольшая несущая способность достигается тогда, когда наибольшие нормальные напряжения равны R_y. Напряжения, действующие по сжатой и растянутой части сечения, дают две равнодействующие, образующие пару сил. Поэтому несущая способность сечения является функцией расчетного сопротивления, отражающего свойства материала. Эту несущую способность называют расчетной (в данном случае – для прямоугольного) сечения.

Представляет несомненный интерес найти вклад в несущую способность сечения, обусловленный его «геометрией». Для этого нужно исключить влияние «материальной прочности» из величины расчетного момента.

 

Нужно выразить напряжения в сечении в безразмерных единицах, (приняв наибольшие в крайних волокнах равными единице). Момент, вызванный этими «напряжениями», назовем моментом сопротивления W.

 

Тогда расчетную несущую способность получаем умножением W на R_y :

M=W R_y .

Такое разделение очень удобно: зная наибольший момент в сечении балки от нагрузки и выбрав материал (R_y),  можем найти требуемый по условию прочности момент сопротивления (геометрическую характеристику сечения):

W= M/ R_y.

Для стандартных сечений (профилей) балок, выпускаемых промышленностью, составлены таблицы моментов сопротивления. По ним выбираем соответствующий профиль.

Так, в общем, рассчитывают на изгиб балки из стандартных профилей.

Предложенная трактовка момента сопротивления нужна не столько для его вычисления (хотя здесь и появляются упрощения), сколько для умения на уровне умозрения видеть выгодные и невыгодные сечения.

Вычислим момент сопротивления для простейшего сечения – прямоугольного, размерами bxh.

 

«Равнодействующая напряжений», распределенных по верхней половине сечения, будет численно равна объему призмы, две проекции которой на рисунке затемнены. Этот объем равен 1/2х1хh/2хb.

Пара таких «сил» дает «момент», равный 1/2х1хh/2хbх2/3h.

Упрощая, получим:

bh²/6.

Изучавшие курс сопротивления материалов, хорошо помнят это выражение.

Момент сопротивления (как геометрическая прочность сечения) есть «момент», развиваемый сечением, когда наибольшие «напряжения» в нем равны безразмерной единице.

Сравним эту формулировку с формулировкой геометрической прочности при растяжении: площадь поперечного при растяжении сечения есть «сила», развиваемая сечением, когда равномерно распределенные по ней «напряжения» равны безразмерной единице.

Хорошо видна идентичность понятий, только одно – при равномерном распределении напряжений по сечению, при растяжении, а другое – при неравномерном, при изгибе.

Заметим, что геометрическая прочность при изгибе в своем названии является моментным понятием. Не исключено, что в данном случае выражается его исконное толкование.

Изменением геометрии конструкции можно добиться во много раз более высокой несущей способности, чем за счет повышения прочности материала. И именно геометрией архитектурных объектов, прежде всего, достигается их эстетическое качество.

Посмотрим, как за счет изменения геометрии прямоугольного поперечного сечения балки можно, сохраняя площадь, то есть, расход материала, существенно повысить его момент сопротивления. Возьмем участок поперечного сечения вблизи нейтральной оси и удалим его от нейтральной оси возможно дальше.

 

 

 

Когда этот участок находился вблизи нейтральной оси, в нем развивались малые безразмерные «напряжения», дающие малую равнодействующую с незначительным плечом ее относительно нейтральной оси. Следовательно, вклад этой площади в момент сопротивления был незначителен. На новом месте «напряжения» больше, участок развивает большую «силу», и плечо ее относительно нейтральной оси тоже увеличилось.

Повторением указанной процедуры перенесения материала получим из прямоугольника двутавровое сечение, широко используемое в строительстве для элементов конструкций, воспринимающих изгибающие моменты.

 

 

 

Момент сопротивления двутавра, при той же площади поперечного сечения, (расходе материала) значительно больше момента сопротивления прямоугольника.

Реальные двутавровые балки имеют вид, близкий показанному ниже на рисунке. Хорошо видно, как далеко отнесенный от нейтральной оси материал располагается в виде параллельной ей полосы.

 

Сделаем численное сравнение моментов сопротивления двутаврового сечения, прямоугольного и плиты.

Например, двутавр, площадью поперечного сечения 369 см², имеет момент сопротивления 12080 см³.

Выберем прямоугольник такой же площади, например, высотой 26,3 см и шириной 14 см. Его момент сопротивления будет 1613 см³, то есть, в 7,4 раза меньше.

Выберем плиту высотой 3 см и шириной 369/3=123 см. Момент сопротивления такого сечения 184,5 см³, то есть, в 65,4 (!) раза меньше, чем у двутавра.

Пример показывает, как «геометрия» сечения влияет  на несущую способность  сечения. Далее мы увидим, как она влияет и на несущую способность конструкций. 

Полученных знаний достаточно, чтобы рассмотреть  алгоритм подбора двутавровых балок по условию прочности по нормальным напряжениям.

·       Путем построения эпюры изгибающих моментов определяем наибольший изгибающий момент в балке – M_max.

·       Выбираем материал – R_y.

·       Находим требуемую величину геометрической прочности – W= M/ R_y.

·       По сортаментам прокатных двутавровых профилей, зная W, подбираем сечение балки.

 

Момент инерции

 

Выясним далее «моментный» смысл момента инерции.

В быту (см. рис. ниже) мы так оцениваем жесткость стержня на изгиб: слегка изогнув его, судим о его жесткости по моментам на концах выбранного участка, необходимым  для удержания стержня в изогнутом состоянии.

 

Разумеется, для однозначного  сравнения нужно выбрать определенную, общепринятую  кривизну, лучше всего, равную единице, а модуль упругости материала его также приравнять  единице.

Выделим (см. рисунок ниже) двумя сечениями такой участок длины изогнутой балки, угол между которыми равен одному радиану.

Напомним, что дуга окружности, «стягивающая» радиусы, образующие угол в один радиан, также равна длине радиуса.

Кривизна нейтрального слоя (упругой оси балки), равна обратной величине радиуса кривизны. Чтобы эта кривизна была равна единице, необходимо принять равными единице и длину радиуса упругой оси (линии, проходящей на уровне центра тяжести сечения).

В предположении, что модуль упругости материала изгибаемого элемента равен единице, «момент», необходимый для сообщения элементу единичной кривизны, и есть момент инерции его сечения.

Именно этот «момент» и отражает такую геометрическую характеристику сечения, как его жесткость.

 

Примем сечение высотой h, симметричное относительно нейтральной оси. Длина верхнего волокна после деформации будет равна 1+h/2, а нижнего – 1-h/2. Так как исходная их длина была равна 1, то приращение длины верхнего волокна Δl=1+h/2-1=h/2. Соответственно, относительное его удлинение:

ε= Δl/l=(h/2)/1=h/2 и σ=E ε=1h/2=h/2.

Относительное удлинение нижнего волокна будет –h/2.

Этим же величинам равны и напряжения в крайних волокнах сечения (модуль упругости в формуле s = Ee принят равным единице). Нетрудно заметить, что «напряжения» численно равны расстоянию их до нейтральной оси. Это будет справедливо и для «напряжений» на других уровнях сечений.

Построим эпюру нормальных напряжений для прямоугольного сечения размерами bxh.

Вспомним, что момент для прямоугольного сечения при треугольной эпюре нормальных «напряжений» уже вычислялся – при нахождении момента сопротивления. Отличие в данном случае заключается в том, что наибольшие напряжения здесь в h/2 раз больше.

 

Следовательно, соотношение между моментом сопротивления W и моментом инерции J  для прямоугольного сечения следующее:

J=Wh/2

Это дает нам величину момента инерции прямоугольного сечения:

(bh²/6)h/2=bh³/12.

В общем случае, для сечения, несимметричного относительно нейтральной оси, момент сопротивления вычисляют, исходя из условия прочности волокна, наиболее удаленного от нейтральной оси – с координатой z_max. Это расстояние и необходимо тогда записать вместо h/2:

J  = W z_max

Так как эпюры нормальных напряжений в обоих случаях имеют вид треугольников, иллюстрация полезности удаления материала от нейтральной оси по условию жесткости будет, как и по условию прочности, также эффективной.

Нами получена «моментная» трактовка геометрической характеристики жесткости сечения, возможно, также исконное толкование этой величины.

Выясним, какой момент развивается в сечении, если кривизна упругой оси в нем задана и стержень выполнен из материала с известным модулем упругости.

Мы определили момент инерции  как момент, развивающийся в сечении, когда кривизна упругой оси стрежня в сечении и модуль упругости материала равны безразмерной единице. Естественно, это момент, характеризующий геометрическую жесткость сечения, поэтому он имеет и геометрическую размерность – см⁴.

M = J·1·1, см⁴.

Для нахождения изгибающего момента в кН·см, подставим вместо первой единицы кривизну 1/r, см^-1, второй единицы – модуль упругости Е, кН/см².

Поучим

M = J · 1/r · Е [см⁴] [см^-1] [кН/см²], [ кН·см ]

Обычно это выражение записывают в другой форме

M = ЕJ·1/r.

Произведение материальной жесткости материала на геометрическую жесткость сечения называют просто жесткостью сечения. И это понятно – жесткость сечения есть произведение материальной жесткости на жесткость геометрическую.

Понятие момента инерции используется также в теории механизмов. Может быть, «механики» здесь опередили «прочнистов».

 

Поперечный изгиб

 

Нагрузим балку поперечными силами. Это вызовет деформацию поперечного изгиба, при котором возникают поперечные силы.

Для показа поперечных сил представим балку плоской системой  жестких дисков, соединенных недеформируемыми горизонтальными связями и вертикальными пружинами.

Деформации пружин модели балки говорит о сдвиге дисков относительно друг друга.

Сдвиги вызывают поперечные силы и касательные напряжения в сечениях балок.

На рисунке показано изменения этих сил в поперечных сечениях балки от действия системы сосредоточенных грузов (ступенчатая линия)  и от равномерно распределенной нагрузки (наклонная линия).

Поперечные силы определяют как равнодействующую вертикальных составляющих сил, расположенных по одну сторону от поперечного сечения. Если левая часть балки относительно правой сдвигается вверх, поперечная сила условно считается положительной, вниз – отрицательной.

Вертикальный сдвиг, казалось, должен вызывать касательные напряжения лишь в поперечных сечениях балки, как это показано на примере деформированного элементарного прямоугольника, выделенного из балки. (См. рис ниже).

 

Однако, превращение прямоугольника в параллелограмм неизбежно сопровождается сдвигом и по поверхностям,   параллельным нейтральной оси.

 

Действие вертикального и горизонтального сдвигов, например, в стенке двутавровой балки объяснимо: ее материал испытывает действие как вертикальных (внешних) сил, так и горизонтальных (внутренних) – от усилий в поясах двутавра.

Если выделить из тела балки элементарный куб, то легко увидеть, что  условие равновесия потребует равенства касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам. Такое равенство отражается в законе парности касательных напряжений.

 

При вычислении перемещений балок обычно учитывают лишь действие изгибающих моментов, а влиянием поперечных сил пренебрегают.

Изгибающие моменты воспринимаются в, основном, полками двутавра, при этом стенка имеет:

·       малую площадь действия нормальных напряжений,

·       средняя величина нормальных напряжений в ней меньше, чем в полках.

·       Плечо действия равнодействующих нормальных напряжений в стенке составляет лишь часть расстояния между поясами.

Поэтому изгибающие моменты, воспринимаемые стенкой, составляют малую долю от моментов, воспринимаемых полками. В особенности это справедливо для

стандартных прокатных двутавров. Примем в наших рассуждениях, что изгибающие моменты воспринимаются лишь полками двутавра.

То есть, позволим себе следующие допущения:

·       Моментами, воспринимаемыми стенкой, пренебрегаем.

·       Напряжения в полках, равные расчетному сопротивлению стали, условно равномерно распределены по площади полки,

·       Равнодействующие напряжений в полках отстоят друг от друга на расстоянии, равном высоте стенки.

Это допустимо лишь в приближенных расчетах, но для нас они важны тем, что  делают дальнейшие рассуждения более прозрачными.

Допустим, что при заданном моменте высоту двутавра увеличили вдвое (см. рис ниже). Тогда, по условию прочности полок по нормальным напряжениям, их площади снизятся вдвое. Отсюда стенка, по условию прочности от касательных напряжений, станет вдвое тоньше, но высота ее вдвое увеличится.

 Значит, площадь ее и вес не изменятся, а вес двутавра снизится лишь за счет полок.

 

Увеличение высоты двутавра ограничено: стенка может стать настолько высокой и тонкой, что потеряет устойчивость. А утолщать стенку сверх требования по условию устойчивости не есть ъорошим решением.

На примере двутавра видно, что стенка является «корнем зла», ограничивающим его высоту (тем самым, и препятствием для снижения веса двутавра). «Борьба» с этим «корнем зла» не прекратится и далее и именно совершенствование стенки позволит трансформировать двутавр в другие, менее материалоемкие, конструктивные формы. Совершенствование форм пролетных конструкций происходит путем решения «проблемы стенки», вплоть до ее устранения.

То есть, «есть стенка – есть проблемы, нет стенки – нет проблем».

Что касается двутавров, то увеличение его высоты и снижение веса возможно за счет повышения устойчивости стенок. Это показано ниже.

Чистый изгиб

 

Нагрузим «балку» парами сил. Нагрузку  воспринимают лишь горизонтальные связи между дисками (см. рисунок ниже). Эти связи  принимаем упругими. Вертикальные пружины, как видим, при этом разгружены.

Такая нагрузка вызывает в балке деформацию чистого изгиба, характеризующуюся следующим:

·       изгибающие моменты по всей длине балки постоянны, а

·       упругая ось - дуга окружности.

·       Касательные напряжения в сечениях отсутствуют.

При чистом изгибе в поперечных сечениях балки возникают лишь изгибающие моменты и, следовательно, лишь нормальные напряжения.

Чистый изгиб встречается практике проектирования не столь уж редко. Если балка нагружена, например, двумя одинаковыми сосредоточенными силами, отстоящими на одинаковом расстоянии от опор, то участок между силами, будет испытывать деформацию чистого изгиба.

На участке чистого изгиба упругая ось балки – окружность. На приопорных  участках балки упругая ось – парабола.

 

 

Устойчивость стержней

 

Рассматривая вопрос устойчивости стержня, следует учесть, что прямых стержней в природе нет – все реальные стержни, пусть в незначительной мере, искривлены. Нет и осевой продольной нагрузки на стрежень – всякая нагрузка прикладывается с тем или иным эксцентриситетом.

Поэтому мы вынуждены наделить «прямые» стержни способностью изгибаться при самой незначительной «осевой» нагрузке.

 

Формула Эйлера

Картину потери устойчивости сжатым стержнем можно показать с помощью его аналога – игрушки «Ваньки-Встаньки». «Ванька-Встанька» обладает способностью развивать восстанавливающий момент при его наклоне и возвращаться в вертикальное положение. Точно так же и стрежень развивает в сечениях восстанавливающие моменты при его изгибе и стремится выпрямиться. Секрет  игрушки прост: груз P смещает центр тяжести ее книзу от геометрического центра опорной сферической поверхности. Поэтому при наклоне игрушки, создается восстанавливающий момент Ph, который и возвращает ее в исходное положение.

Нагрузив  сверху игрушку, мы тем самым, приблизим центр тяжести игрушки и груза к геометрическому центру опорной сферической поверхности. Игрушка будет возвращаться в вертикальное состояние менее активно. Ее можно наклонить на тот же угол меньшей горизонтальной силой: отклонению «помогает» уложенный сверху груз.

 

Величина груза, при котором центр тяжести игрушки и груза совпадет с геометрическим центром опорной сферической поверхности, приведет к наступлению качественно нового состояния: игрушку  можно наклонить сколь угодно малой боковой  силой, и она, точно шар на горизонтальной поверхности, останется в новом положении (см. рис ниже).

 

 

Теоретически такой наклон не потребует никакой работы, так как  восстанавливающий момент от силы P будет уравниваться моментом опрокидывающим от груза Q в любом промежуточном положении

игрушки:

 

Ph=Qh₁.

Справа от знака равенства – опрокидывающий момент, слева – восстанавливающий.

Такое состояние называют состоянием безразличного равновесия: при увеличении плеча h₁ (за счет наклона), например, вдвое плечо h также увеличится вдвое и условие равновесия сохранится.

Следовательно, для наклона игрушки в любое произвольное положение потребуется какая угодно малая горизонтальная сила. После снятия этой силы игрушка останется в том положении, в которое ее привели.

Будем рассматривать игрушку как аналог стержня.

Пусть «прямой» стержень «постоянного» сечения, выполненный из «однородного» материала, сжат «осевой» силой и испытывает деформацию «осевого» продольного изгиба.

В кавычках обозначены те условия, которые реально невыполнимы.

Момент инерции J, как установлено выше, есть момент, развивающийся в поперечном сечении стержня, если модуль упругости его материала E и кривизна упругой оси стержня в сечении 1/R равны единице. Если эти величины соответственно равны E и 1/R, то восстанавливающий момент в произвольном сечении искривленного стержня есть момент инерции, умноженный на E(1/R):

M=(EJ)(1/R).

Кривизну 1/R выразим через ÿ. Тогда:

M=EJ ÿ.

(Величина ÿ имеет вполне определенный математический смысл, но на нем пока останавливаться не будем и примем ее как обозначение).

Произведение материальной жесткости стержня E на геометрическую жесткость сечения J называют жесткостью поперечного сечения стержня EJ.  Значит, восстанавливающий  момент в произвольном сечении искривленного стержня равен произведению его жесткости на кривизну упругой оси в сечении. (Логично, чем больше жесткость при той же кривизне, тем больше восстанавливающий момент, чем больше кривизна при той же жесткости, тем также больше восстанавливающий момент).

Слегка изогнем стержень, шарнирно закрепленный на концах, неподвижным упором, то есть, искусственно создадим в разных его сечениях прогибы y. Это действие ничем не отличается от приведения идеального стрежня к стрежню реальному, с той лишь разницей, что  теперь  мы знаем, насколько он искривлен.

Примем работу стержня упругой.

 

 

Искривление стержня вызовет на упоре реакцию H, а в его произвольных сечениях – изгибающие моменты EJ ÿ.

Если к стержню приложить сжимающую силу P, то сила H уменьшится. По мере увеличения P сила H станет равной нулю. Опора теперь ничем себя  проявлять не будет, и ее можно удалить.

Поскольку при  H=0 стержень будет находиться в покое, то справедливо условие равновесия для произвольного сечения:

Py=EJ ÿ.

Моменты изгибающий и восстанавливающий равны. То же мы имели и с игрушкой в критическом ее состоянии. Как в том, так и  в этом случаях наличие знака равенства означает наступление критического состояния, как в игрушке, так и в стрежне.

Убедимся в этом.

Прогибы строительных конструкций малы. На таких прогибах допускают, что рост прогибов y сопровождается пропорциональным ростом кривизна ÿ.

Если при H=0  прогибы стержня y удвоим, то в каждом поперечном сечении стержня удвоится и ÿ. Следовательно, в каждом сечении в два раза увеличится как изгибающий момент от силы Р, так и противодействующий ему момент внутренних сил, и условие равновесия сохранится.

 

Получим: P2y=EJ2 ÿ, следовательно, P сохранит свою величину при различном изогнутом состоянии стержня.

Это состояние стержня опасно: сколь угодно малая горизонтальная сила, взяв в «союзники» изгибающую силу Р, сможет увеличивать прогиб, не встречая никакого сопротивления со стороны стержня.

Увеличение прогиба, однако, увеличивает и напряжения в поперечных сечениях стрежня. Следовательно, теоретически, если предположить, что взаимодействие изгибающих моментов в сечениях и моментов внутренних сил будет сохраняться и далее, какая угодно горизонтальная  сила может довести стержень до разрушения.

Мы убедились, что формальным признаком наступления критического состояния является знак равенства между изгибающими и восстанавливающими моментами в поперечных сечениях стержня.

Выше мы говорили о том, что обозначение ÿ имеет вполне определенный математический смысл.

Выражение Py=EJ ÿ является дифференциальным уравнением второго порядка,  которому удовлетворяет определенное значение P. Поскольку оно отражает наступление критического состояния, можно вместо Р написать P_сr .

P_сr y=EJ ÿ.

Его решение (учитывающее различные условия закрепления стержня) имеет вид:

P_сr=(π²EJ)/(μl)²,

где μl –  так называемая, приведенная длина стержня, а μ – коэффициент  длины, приводимый в справочниках. Он отражает условия закрепления стержня. (На этом остановимся ниже).

Формула для критической силы называется формулой Эйлера – чем больше жесткость, тем выше критическая сила, чем больше приведенная длина стержня, тем сила меньше. Она справедлива лишь при упругой работе стержня (входящие в нее понятия момента инерции и модуля упругости материала, напомним, предполагают упругую его работу).

Ощутить эйлеровскую силу, пусть приближенно, нетрудно и физически в домашних условиях.

Поставим на напольные весы достаточно гибкий и длинный стержень со свободным верхним его концом и защемлением нижнего. Далее будем сверху нагружать его грузами

 

Стержень, как отмечалось, получит  изгиб даже при незначительной продольной силе.

Увеличивая и убирая нагрузку, отметим увеличение прогибов стрежня, и их исчезновение при разгрузке. (См. рис. ниже).

Плавно увеличивая далее нагрузку, вдруг обнаружим, что при какой-то ее величине дополнительные прогибы стержня будут увеличиваться, а показания весов  – нет. Они, при различных прогибах стержня, будут показывать постоянное значение критической силы.

 

В этом состоянии прогибы будут изменяться при сколь угодно малой горизонтальной силе. Критическую силу можно ощутить и тактильно: сжимая ладонями стальную гибкую линейку, мы вдруг ощутим, что давление ладоней на линейку неизменно, а прогибы ее изменяются. (Ощутить это можно в особенности отчетливо, если выбрать линейку нужной гибкости).

 

Коэффициент длины стержня

 

Когда стержень шарнирно закреплен на концах, упругая ось его является одной полуволной синусоиды. Такой случай закрепления стержня принят основным и коэффициент μ для этого случая принят равным единице.

Для других случаев закрепления на упругой оси стрежня отыскивается участок, который можно считать закрепленным на концах с помощью шарниров, то есть, соответствующему основному случаю закрепления стержня. Эти участки называют свободной длиной стержня. Считается, что устойчивость их и будет определять устойчивость всего стрежня.

(Свободная длина стержня и приведенная его длина – одно и то же). 

На рисунке ниже показаны точки перегиба упругой оси стержня при различном ее закреплении. Моменты в них равны нулю, поэтому несущая способность стержня не изменится, если в этих местах поставить шарниры. Тогда свободная длина стержня будет равна длине участков, которые имеют шарниры на концах. Длина их может быть меньше или больше длины стержня. Поэтому ее обозначают как μl. Свободная длина стержня будто является его «представителем» по условию устойчивости (пример на рисунке ниже).

 

Приведенную длину стрежня – μl – можно считать его продольной геометрической характеристикой.

 

Радиус инерции. Гибкость стержня

 

Поперечной геометрической характеристикой жесткости сечения является его момент инерции.

Отношение момента инерции к площади поперечного сечения есть показатель выгодности сечения по условию жесткости. Однако, эта величина имеет размерность см⁴/см², то есть, см². Если показателю  выгодности сечения по условию жесткости, называемому радиусом инерции  сечения, придать линейную размерность, то мы должны  определить его как  корень квадратный из отношения обретенной жесткости – J за счет расхода материала – А.

 i = (J/A)^1/2

Если, сохраняя площадь A, например, сплошного квадратного сечения, превратить его в квадратную трубу, а далее увеличивать размеры сторон ее, то от сечения к сечению, при том же расходе материала, будет расти радиус инерции.

Радиус инерции можно рассматривать как показатель развитости сечения, как «поперечную» геометрическую характеристику стрежня.

Это проиллюстрировано на рисунке ниже, где размерами обозначений момента и радиуса инерции показывается их численная величина.

 

Если радиус инерции есть показатель развитости сечения, то его можно рассматривать как «поперечную» геометрическую характеристику стрежня.

Гибкость стержня l есть отношение показателя «продольной» его геометрии к «поперечной», то есть, l = μl/ i_min  (радиус инерции берут относительно той оси сечения, которое дает наибольшую гибкость).

Гибкость стержня можно рассматривать как обобщенную его геометрическую характеристику.

 

Расчетная несущая способность стержней

 

Критическую силу, как видим, прикладывать к стержню нельзя. А какую ее долю можно? Расчетную сжимающую силу по условию устойчивости в инженерных расчетах определяют по формуле:

P=AR_yφ.

То есть, несущую способность стержня рассматривают как часть его несущей способности по условию прочности - AR_y .

Так называемый коэффициент продольного изгиба φ, меньше, или равный 1, устанавливается в соответствии с требованиями строительных норм и правил. Он может быть найден по таблицам. Но по каким таблицам – это нам придется узнать  ниже.

 

Факторы, влияющие на величину коэффициента φ

 

Ранее мы указывали, что модуль упругости E практически не зависит от расчетного сопротивления R_y.

Следовательно, жесткость стержня EJ также не зависит от R_y. Следовательно, также и критическая сила Эйлера, определяемая величиной жесткости – EJ, от R_y не зависит.

Отсюда и требуемая площадь сечения стержня по условию устойчивости не зависит от прочности стали.

Ситуация изменяется, когда записывается инженерное выражение для допустимой силы, которую можно приложить к стрежню:

P = φ(AR_y).

Требуемую площадь по условию устойчивости можно представить как

A=(1/φ) (P/R_y) = КA_пр,

Где (P/R_y ) – требуемая площадь поперечного сечения по условию прочности – A_пр.

К = 1/φ – коэффициент увеличения площади A_пр по условию устойчивости (следует помнить, что φ меньше единицы, поэтому К больше единицы).

Тогда поперечное сечение можно представить как площадь, требуемую по условии прочности и «намазанный» на эту площадь дополнительный материал, придающий стержню устойчивость.

Количество «мертвого» материала определяется величиной φ.

К – 1 = 1/φ – 1.

Коэффициент φ тем больше, чем меньше гибкость стержня, когда он более  устойчив.

Кроме того, коэффициент продольного изгиба – φ – зависит и от прочности стали.

Это показано на рисунке ниже.

 

Требуемая площадь поперечного сечения КА_пр величина постоянная, так как она определяет устойчивость стержня.

С увеличением прочности стали уменьшается площадь A_пр, следовательно, количество «мертвого» материала (К-1)А_пр = (1/φ – 1)А_пр растет. (См. рис. выше). Если  (1/φ – 1) растет, то φ уменьшается.

Следовательно, табличные значения этого коэффициента определяются величинами l и R_y.

Ниже показана структура таблицы для коэффициента φ. Рядом – на эту таблицу наложены изображения площади «несущего сердечника» (серый цвет) и «мертвого» материала (синий цвет).

 

 

   

Отсюда следует, что при проектировании нужно стремиться к уменьшению гибкости стержня (путем развития его сечения, уменьшения длины стержня и установкой дополнительных связей), а также применением низкопрочных сталей.

 

Замечание

 

Естественно, стержень при восприятии продольной сжимающей силы работает полным сечением. Однако, для целей развития инженерного мышления, деление площади поперечного на две функциональные части – несущий сердечник и площадь, обеспечивающую устойчивость несущего сердечника, считаем полезным.

Такое представление существенно облегчит в дальнейшем восприятие объектов архитектуры  с инженерной точки зрения.

А это и является нашей целью.

 

Алгоритм подбора сечения стержня по условию

устойчивости

 

·       Ориентировочно выбираем сечение. Пусть, из прокатных профилей.

·       Определяем для него, в зависимости от способа закрепления, коэффициент μ и находим приведенную длину μl как характеристику «продольной» геометрии стержня.

·       Определяем i_min как характеристику «поперечной» геометрии стержня. Для прокатных профилей эта величина приведена в таблицах.

·       Определяем обобщающую геометрическую характеристику – гибкость стержня l как отношение «продольной» геометрии к «поперечной».

·       Переходим к материалу. Выбираем расчетное сопротивление стали R_y

·       Зная «геометрию» (гибкость стержня) и «материал» (его расчетное сопротивление), находим по таблицам j.

·       Зная площадь поперечного сечения A, расчетное сопротивление R_y и коэффициент j, определяем расчетную несущую способность стержня и сравниваем ее с заданной расчетной нагрузкой.

·       При необходимости, выбираем новое сечение и повторяем расчет до требуемого приближения полученной расчетной несущей способности к расчетной нагрузке.