Работа специалиста, да и вообще жизнь человека, требует, чтобы он не просто много знал, но и умел на основе этих знаний принимать целесообразные решения, мог провести их в жизнь, приняв на себя всю ответственность. Определенную роль в наработке этих качеств может играть решение задач в процессе обучения.

Речь пойдет о некоторых типах учебных задач, педагогическая цель решения которых состоит не столько в закреплении знаний, сколько в моделировании соответствующих особенностей деятельности, для осуществления которых нужно использовать знания.

Человек должен быть готов к встрече с нетипичными задачами. Набор (ассортимент) задач, предлагаемых при обучении, должен по возможности подготовить учащегося к встрече с неожиданностями.

Но и в нетипичгных задачах можно заметить некоторые характерные черты. Своего рода «типичные нетипичности» мы и рассмотрим здесь. 

1.Задачи с недостаточностью исходных данных 

За годы обучения в средней школе учащийся привыкает к тому, что всякая предлагаемая ему задача разрешима; в условиях задачи содержатся все сведения, необходимые для ее решения (то есть для ответа на поставленный в задаче вопрос). К окончанию средней школы такая установка прочно закрепляется. Это ярко проявилось на экзамене в одном учебном заведении, где была предложена «неразрешимая» задача: в традиционной задаче о поездах, идущих навстречу друг другу из двух пунктов, не было указано расстояние между этими пунктами. Отличной оценки заслуживал бы тот учащийся, который в ответе написал бы: «Для ответа на поставленный задаче  вопрос в ее условии не хватает сведений о расстоянии между пунктами». А еще лучше – обозначил бы это расстояние буквой S и получил бы ответ, выраженный через S.  

Но, увы, этого не произошло. Учащиеся подали листочки, в которых задача просто не была решена. Причина не в незнании математики учащимися, а в их психологии: слишком прочна сформированная у них установка, что задача всегда разрешима, что в ее условии всегда достаточно сведений для ответа на поставленный вопрос, что если задача «не решается», то причина этого лежит в учащемся, а не в условии задачи. 

В задачах, с которыми приходится сталкиваться в жизни, почти никогда не бывает так, что в их первоначальном условии достаточно данных для решения. Первоначальные данные у врача могут ограничиться тем, что больной жалуется на боли в области левого плеча, а у инженера – что появился необычный стук в двигателе, и т.п. Этих сведений недостаточно, чтобы решить вопросы – что с больным или что с двигателем, что надо предпринять. Но специалист должен, исходя из них, выдвинуть предположение о возможных причинах и путях решения задачи, а затем, разыскать недостающие данные. Если же какие-либо сведения, важные для выбранного способа решения, получить невозможно, специалист должен найти иной путь решения задачи, для решения которого необходимые сведения могут быть получены.

Если по школьной традиции решения задач сначала ставятся условия, потом вопрос (проблема), затем следует решение, то в реальной жизни чаще всего сначала возникает вопрос (проблема), потом идет активный поиск необходимых для решения условий (данных), затем – само решение. Обучение активному поиску сведений, необходимых для решения задачи, является очень важным условием подготовки специалиста. Обычные сборники задач не могут предлагать учащимся задачи этого типа: ведь такие задачи предполагают диалог, в котором учащийся активно задает вопросы и получает на них ответы. В задачах, о которых идет речь, учащийся может получить необходимые для решения сведения лишь при активном поиске. Проще всего он получается при индивидуальной работе учащегося с преподавателем. Однако при массовом обучении такая индивидуальная работа невозможна или очень затруднительна. 

Для тренировки учащихся в решении зада подобного типа в ряде учебных заведений применяется диагностический тренажер нашей конструкции ТРЕФ-2 (подробнее см. [3]).

При работе на этом тренажере учащийся получает задачу, закодированную на специальной перфокарте. На корешке карты даны минимальные сведения (о химическом веществе, характере неисправности в машине и т.п.), а также вопрос, на который учащийся должен ответить. Например: «В колбе – прозрачная жидкость. Что это за вещество? Или: в двигателе автомобиля появился необычный стук. В чем причина стука и что должен сделать водитель?». Сообщенных здесь сведений совершенно недостаточно для ответа на поставленный вопрос. Все остальные сведения о химическом  веществе (или о больном, о двигателе и т.п.) не даны учащемуся в явном виде, но они имеются на перфокарте, введенной в аппарат ТРЕФ-2, и выдаются учащемуся только по его запросу. Он должен из большой массы сведений затребовать те, которые нужны для ответа на поставленный вопрос. Так, если речь идет о каком-то веществе, то учащийся может задать аппарату вопросы: жидкое ли это вещество? дает ли оно с лакмусом синее окрашивание? а красное? Выпадает ли осадок при реакции с солями бария? На каждый заданный вопрос учащийся получает ответ. Собрав нужную информацию, он дает ответ на поставленный вопрос, который входит в аппарат ТРЕФ-2, и получает подтверждение (или опровержение) его правильности. В случае ошибочности ответа учащийся может продолжить сбор информации о веществе до тех пор, пока не даст правильного ответа. А аппарат сохраняет для педагога информацию обо всех ответах, которые он дал раньше, чем пришел к правильному ответу. Анализ этой информации позволяет преподавателю оптимальным образом направить дальнейший ход учебного процесса с данной группой учащихся. 

Так, например, на основании сведений о болях определенной локализации, не снимающихся нитроглицерином у больного стенокардией, поставлен правильный диагноз инфаркта миокарда.  Но, проанализировав запрошенную учащимися информацию о больном, педагог обнаружил, что они не поинтересовались функциями поджелудочной железы. Между тем в некоторых (не частых) случаях панкреатита (воспалительное заболевание поджелудочной железы) тоже могут возникнуть подобные боли. Следовательно, если перед учащимися был больной панкреатитом, была допущена ошибка – поставлен неправильный диагноз инфаркта миокарда. Отсюда преподаватель делает вывод: на очередном занятии вернуться к вопросу о дифференциальной диагностике инфаркта миокарда и панкреатита. 

Существенно, что подобную ошибку может допустить даже тот учащийся, который на прямо поставленный вопрос о дифференциальной диагностике инфаркта миокарда и панкреатита даст правильный ответ. У него имеются эти знания, но он не умеет использовать их при решении диагностической задачи. Педагог в приведенных случаях использует «обратную связь», касающуюся не просто знаний учащихся, а того, как они используются при решении задачи. 

Или, например, педагог замечает, что многие учащиеся, правильно решив задачу, подробно интересовались результатами таких лабораторных исследований, которые на самом деле не влияют на ее решение. В жизни это означает неоправданную задержку принятия решения до получения результатов лабораторных исследований. Педагогу на очередном занятии необходимо выяснить, почему учащимся кажется, что в этом случае такие данные существенны, и еще раз объяснить, когда соответствующие лабораторные исследования необходимы, а когда нельзя из-за них задерживать принятие решения.

В США для предъявления задач с неопределенностью первоначальных данных в условии и с активным поиском недостающих данных используется книга, в которой недостающие сведения появляются путем «проявления» специальным карандашом [9].

В связи с задачами такого рода вспоминается рассказ из античных времен. Путник, проходя мимо бочки, в которой жил Диоген, спросил у последнего, через какое время он дойдет до города. Диоген ответил: «Иди!». Путник повторил вопрос и снова услышал: «Иди!» Решив, что у Диогена не добиться ответа, путник пошел дальше. И тут Диоген крикнул ему вслед: «Ты дойдешь через полтора часа». Удивленный путник спросил, почему Диоген не ответил на его вопрос сразу. «Я же должен знать, как ты ходишь» - сказал Диоген. 

2. Задачи с неопределенностью в постановке вопроса 

В предыдущем разделе мы говорили о задачах с неопределенностью данных в  условии. Но неопределенность может касаться и искомого. В жизни затруднения в принятии решения иногда происходят именно оттого, что нечетко сформулировано, что ищется. Прежде чем решать, как улучшить выпускаемое изделие, необходимо определить, что значит «улучшить» – сделать более долговечным, или более красивым, или более дешевым и т. д. В задачах на поиск оптимального пути перевозок надо решить, что именно оптимизируется – время перевозок, длина пути, стоимость перевозок и т.д‚ Чтобы при обучении сформировать умение четко определять искомое, цель, необходимо использовать соответствующие задачи. 

В качестве примера приведем известную задачу о чайнике, розетке и кране.

В комнате, где находится человек, есть пустой чайник, электрическая плитка и розетка, в которую можно включить плитку. Водопроводный кран на кухне. Требуется указать оптимальный порядок действий, необходимых, чтобы вскипятить чайник воды, Такая задача не может быть решена, пока учащийся не узнает, что значит «оптимальный порядок действий», с какой точки зрения он должен быть оптимальным. Если нужно прежде всего выиграть время, то надо включить плитку, а затем идти с чайником к крану. Если важнее сэкономить электроэнергию, то нужно сначала пойти за водой, а затем, поставив полный чайник на плитку, включить ее.

 Прежде чем решить задачу, учащийся должен проверить, корректно ли сформулирован вопрос, точно ли определено искомое. И если надо, найти точную формулировку вопроса. 

Полезно использовать задачи, в которых учащийся должен рассуждать так: если оптимизировать параметр А, то надо действовать так-то, но в этом случае будут такие-то потери по параметру В; если же оптимизировать В, то тактика должна быть такой-то, но тогда будут такие-то потери по параметру А.

Учащийся должен научиться видеть не только выигрыши, но и «цену», которую за это надо заплатить. И не только в экономических, инженерных и медицинских задачах, но и в любых человеческих взаимоотношениях. 

Строго говоря, пожелание другому «всего хорошего» – доброе, но не реальное. Если я желаю моему другу хорошего, я должен ясно понимать, что именно я желаю, от чего должен отказаться при этом мой друг и, главное, чем я готов пожертвовать, чтобы сбылось мое пожелание. 

 Задачи, в которых учащийся должен уточнить условия (активно получить необходимые для решения данные) и точно сформулировать вопрос (дать определение искомого), являются, в сущности, задачами на постановку задачи.

Поставить задачу – значит четко определить заданную цель и точно описать обстоятельства, необходимые для достижения цели 

3. Задачи с избыточными или ненужными для решения исходными данными 

 Школьная традиция приучает учащегося к тому, что все данное в условии задачи необходимо для ее решения. Насколько прочно это входит в психологию школьника, можно убедиться на простом эксперименте. Дайте учащемуся такую задачу, которая посильна ему, но требует от него размышления. В условие же задачи введите ряд данных, ненужных для ее решения.

 Так, например, традиционная задача на встречу поездов может принять такой вид: «Из пункта А в сторону пункта В, отстоящего от пункта А на 700 километров, выходит товарный поезд из 80 вагонов. 70 вагонов гружены углем, 10 – лесом. Вес поезда без груза – сколько-то тонн; каждый вагон нагружен столькими-то тоннами угля или столькими-то леса. Поезд тянут два однотипных тепловоза со скоростью 62 км/ч. Одновременно из пункта В в сторону пункта А выходит другой поезд. Он состоит из 30 вагонов, из которых 20 гружены лесом, а 10 идут порожняком. Поезд тянет один тепловоз того же типа. Скорость поезда 57 км/ч. На каком расстоянии от пункта А поезда встретятся?» Легко убедиться, что наличие в условии задачи лишних, не нужных для решения задачи сведений затрудняет и замедляет решение задачи. Специалист в жизни почти всегда сталкивается с задачами, изобилующими «лишними», не существенными для решения сведениями.

Больной, жалуясь на боли в области левого плеча, подробно сообщает врачу, что он ел в этот день с утра. Нередко его логика: post hos – ergo propter hos (После этого – значит вследствие этого, лат.) 

Водитель автомобиля заметил стук в двигателе, когда машина шла на подъем по влажному асфальту, после того как он подкачал шины. Что из этих данных существенно?

 Специалист должен из множества, имеющихся у него сведений отобрать лишь релевантные – существенные для решения задачи. Представляется необходимым в числе задач, предлагаемых учащимся, давать и задачи с «избыточной» информацией в условии. Это может быть сделано даже в обычном сборнике задач. Так, в задаче можно сообщить, что вызванная скорая помощь застает на дороге человека, лежащего без сознания; видимых повреждений на теле нет; изо рта запах алкоголя. Было бы опасной ошибкой, идя «на поводу» у запаха алкоголя, решать, что это просто пьяный. Нужно получить данные, подтверждающие или исключающие травму.

Или, например, давая в курсе неврологии диагностическую задачу о больном с поясничным радикулитом, учащемуся сообщают не только о жалобах больного на боли в пояснице, но и дают в задаче сведения о взаимоотношениях в семье больного. Скажем, о конфликте накануне возникновения болей. Даже молодой врач не должен дать увести себя в сторону сведениями, хоть и «правильными», но не имеющими отношения к необходимым врачебным действиям. И этому его учат задачи предлагаемого типа. 

4. Задачи с противоречивыми (частично неверными) сведениями в условии 

Вопрос о доверии к тем или иным условиям задачи совсем не рассматривается в педагогике средней школы. Условия же задачи, возникающей в жизни, берутся не из задачника, а из исследований, наблюдений, анализов, сообщений других специалистов и т. п. Это сведения, добытые различными людьми, в различных условиях, различными методами, с различной степенью достоверности. Среди них могут оказаться и взаимно противоречивые сведения, Тогда специалист должен решить, каким сведениям он отдаст предпочтение. Для этого он должен сопоставить сведения между собой. Если девять из них составляют непротиворечивую картину, а одно несовместимо с двумя из девяти, он с наибольшим основанием пренебрегает этим одним. Он учтет, какие измерения каким методом (или каким прибором) выполнялись, кто их проводил, какие помехи могли повлиять на результат измерения (например, условия освещения при проведении колориметрических исследований). Иногда наличие противоречивых сведений в условии задачи приводит специалиста к тому, что он затребует новые данные, рассматривая имеющиеся как недостаточно достоверные. 

Примером задачи с противоречивыми данными в условии может служить следующая задача из области электротехники. В электрической схеме, показанной на рис, 1, на сопротивлениях стоят обозначения: R₁ = 3000 ом, R₂ = 1500 ом, R₃ = 1000 ом.

Амперметр А показывает 0,01 ампер. Показания вольтметров: V₁  – 100 вольт, V₂  – 50 вольт, V_З  – 50 вольт. Требуется определить силу тока I₁, идущего через сопротивление R₁ и тока I₂ идущего через сопротивление R₂.

Рис. 1

Расчет токов прост.

I₁ = V₂/ R₁ = 1/60 ампера,

I₂ = V₂/ R₂ = 1/30 ампера,

Тогда I₁ + I₂ = 3/60 = 0,05 ампера.

Но амперметр А показывает всего 0,01 ампера. Следовательно, данные в условии задачи противоречивы, среди них есть неверные. Какие же? Какой из измерительных приборов «врет»? Показания трех вольтметров и обозначения на трех сопротивлениях составляют непротиворечивую картину. Показания же амперметра А противоречат этой картине. Вероятнее всего, именно показания этого амперметра ошибочны, Ими-то и следует пренебречь. 

Тренируя учащихся на задачах подобного типа, мы учим молодого специалиста тому, что, встретившись в жизни с противоречивой ситуацией, он должен поставить и решить вопрос о достоверности полученных сведений. 

5. Задачи, допускающие лишь вероятностные решения 

Специалисту очень часто приходится принимать решение о некоторых весьма важных действиях раньше, чем он будет абсолютно уверен в правильном решении задачи: эпидемиолог, инженер, пилот, экономист принимают решения о действиях тогда, когда считают, что с достаточно большой вероятностью эти действия приведут к достижению нужного результата. Предвидение человеком дальнейшего развития событий и результатов его собственных действий всегда носит вероятностный характер (подробнее см. [1]).

Вероятностное прогнозирование играет существенную роль в решении задач специалистами. Если бы, например, врач не начинал лечение до тех пор, пока решение диагностической задачи не стало бы абсолютно достоверным, он слишком часто убеждался бы в правильности своего решения лишь на секционном столе, при вскрытии трупа больного, погибшего из-за того, что лечебные средства не были применены своевременно.

Специалист приступает к действиям уже тогда, когда одно из возможных решений оказывается существенно более вероятным, чем другие решения. Или когда уже ясна область (диапазон) наиболее вероятных решений, хотя еще не ясно, какое именно решение правильно. При этом, уже приняв решение и действуя в соответствии с ним, специалист продолжает уточнять решение и, если надо, вносит коррективы в план своих действий. 

В процессе обучения учащийся осваивает такие вероятностные задачи лучше всего при решении сложных вопросов (проблемное обучение). В более простых случаях это могут быть и задачи из учебника, но требующие не одного, а нескольких ответов с указанием их вероятностного соотношения. 

Этот тип задач можно проиллюстрировать следующим примером.

Из пункта А выпущен неуправляемый воздушный шар. На рис, 2 показана роза ветров для пункта А, отражающая повторяемость (в % от общего числа наблюдений) направлений ветра. Безветренной погоды в пункте А не наблюдалось ни разу. Средняя скорость ветра в пункте А 6 м/с. Именно такой была скорость южного ветра в момент запуска шара, Самая низкая скорость ветра, которая была зарегистрирована в А, составляла 1,5 м/с, самая высокая  – 15 м/-с. Где окажется воздушный шар через 10 ч. полета?  

Рис. 2

Решение задачи должно быть следующим.

Наиболее частым в пункте А является южный ветер со скоростью 6 м/с. Именно таким был он и в момент запуска шара. Но за 10 ч. могли измениться как скорость, так и направление ветра. Поэтому с полной достоверностью нельзя сказать, где окажется шар через 10 ч. Но наиболее вероятно. что шар окажется к северу от А на расстоянии 216 км (6 х 60 х 60 х 10 = 216000 м = 216 км). Это наиболее вероятная точка финиша. Отклонения от этой точки возможны, и чем больше отклонение, тем меньше его вероятность. Только научившись опираться на вероятностное решение задачи, подобное приведенному, специалист может своевременно принять решение о проведении необходимых мероприятий. 

6. Задачи с ограниченным временем решения 

В жизни сплошь и рядом приходится решать задачи и принимать решения в условиях цейтнота, когда запоздалое решение вообще теряет смысл. Стало быть, и в период обучения необходимо развить быстроту принятия решений, На это разумно обращают внимание некоторые педагоги (см., например [5]). В то же время все убыстряющийся темп жизни требует от принимающего решение человека не только «быстродействия», но и некоторых других качеств и способностей. Время, в течение которого еще не поздно принять решение, бывает иногда столь коротким, что решение возникшей типовой задачи традиционным способом становится вообще невозможным. В таких случаях необходимо найти другой путь, требующий меньшего времени, чем типовое решение, и вместе с тем адекватный данной частной задаче. Иногда для этого приходится несколько упрощать ее, по сравнению с типовой, если допустимы менее жесткие требования к искомому. 

Рассмотрим такую задачу. Из пункта А в направлении к пункту В вышел поезд со скоростью 25 км/ч. Через 30 мин. навстречу ему из пункта В, отстоящего на 100 км от А, вышел поезд со скоростью 50 км/ч, Ближе к какому пункту (А или В) произойдет встреча поездов?

 Вообще говоря, это типовая задача на встречу поездов. Ее традиционное решение точно укажет расстояние места встречи от пунктов А и В. Но время, данное учащемуся для ответа, слишком коротко, чтобы успеть решить задачу пользуясь привычным алгоритмом. Вместе с тем данная частная задача и не требует указания точного расстояния от пунктов старта до места встречи, достаточно лишь сказать, ближе к какому пункту произойдет встреча. Поезда встретились бы на середине пути, если бы поезд из А находился в пути вдвое дольше поезда из В. Поездам до встречи надо двигаться больше часа (даже если бы они вышли одновременно). За час совместного движения они сближаются на 75 км. Поезд же из А вышел всего на полчаса раньше. Следовательно, он не успеет пройти полпути до встречи, встреча произойдет ближе к А. 

Аналогична этой и такая задача. Бассейн заполняется двумя жидкостями из двух труб. Емкость бассейна 10 000 л. Труба А, вливающая жидкость, подаст 25 л в сек; труба В  – 75 л в сек. В начале заполнения бассейна труба В (большого диаметра) бездействовала 4 мин. из-за технической неисправности. Какая жидкость (из А или из В) будет преобладать в бассейне к моменту его заполнения?

За 4 мин. из трубы А в бассейн поступило 6000 л, то есть больше половины емкости бассейна. Следовательно, жидкости из А будет больше, чем жидкости из В. 

Еще одна задача.

Мастерская выпускала тележки – одноколесные (тачки) и двухколесные. Выпустив за день 80 тележек, мастерская израсходовала 113 колес, Каких тележек – одно- или двухколесных – выпустили в этот день больше?

Учащийся сразу увидит тут задачу, решаемую двумя уравнениями с двумя неизвестными. Если обозначим через x₁ число одноколесных тележек, а через x₂  – число двухколесных, то

x₁ + x₂ = 80,

x₁ + 2 x₂ = 113,

Отсюда легко найти число выпущенных тележек обоих видов. Но ведь нам достаточно знать, каких тележек было больше. В условии резкого дефицита времени и допустимости ответа лишь о том, каких тележек было больше. задача решается без уравнений. Если бы одно-  и двухколесных тележек было поровну, то колес было бы израсходовано в полтора раза больше, чем выпущено тележек, то есть 120. Но колес Израсходовано меньше (113). Следовательно, выпустили больше одноколесных тележек. 

Принятие решений в условиях резкого ограничения времени нередко встречается в работе инженеров, врачей и других специалистов. Они должны быть готовы в этих случаях к «редукции» задачи. Так, например, при сортировке раненых в очаге массового поражения врач дол жен быстро определить, куда транспортировать больного ‚ не решая в полном объеме диагностическую задачу. 

7. Задачи, требующие использования предметов в необычной для них функции 

Вот уже пятое столетие память человечества хранит остроумное разрешение Колумбом королевской задачи - поставить яйцо на острый конец. Остроумие Колумбова решения состояло в том, что он использовал способность яйца деформироваться, не разрушаясь, при легком ударе – явление, которого мы обычно не замечаем, так как оно нам ни к чему. Таково уж свойство человека: ожидать проявления (и, стало быть, использования) тех особенностей предметов (признаков, явлений и т. п.), с которыми чаще всего он встречался в прошлом. Что было часто в прошлом, того мы ждем с высокой вероятностью в будущем – в этом основа вероятностного прогнозирования [1]. 

Вероятностное прогнозирование может помочь нам принять решение, но оно же порой затрудняет его, как бы скрывая от нашего взора выход из положения. Перед такой трудностью стоит человек, внезапно оказавшийся в редкой и необычной (но при этом часто ответственной) ситуации: инженер в аварии, врач при оказании неотложной помощи и т. п, Выход этот состоит иногда в том, чтобы использовать имеющиеся предметы не так и не для того, как их обычно используют.

На важность задач, для решения которых нужно использовать те или иные предметы или сведения в необычной для них функции, обратил внимание психолог К. Дункер [7].

Вот одна из предложенных им задач. Требуется разместить на двери на заданной высоте три свечи. Среди множества предметов, в числе которых есть три свечи, находятся также несколько гвоздей и три картонные коробочки разного цвета, расположенные в разных местах стола.

Решение состоит в том, чтобы прибить к двери гвоздями три коробочки, использовав их как подставки для свечей. В одном из вариантов этого эксперимента предварительно «актуализировалось» обычное использование коробочек как емкостей: в одной были гвозди, в другой – свечи, в третьей – спички. В этих опытах больше половины испытуемых не справились с заданием: им в голову не пришла возможность использовать коробочки таким необычным по прошлому опыту образом.

Еще пример.

В расписании указано, что поезд выходит из пункта А в 12 ч. 50 мин. и прибывает в пункт В в 15 ч. 15 мин. После получасовой стоянки в В поезд вышел в обратный путь. В этот же момент навстречу ему из А вышла дрезина со скоростью 48 км/ч. На каком расстоянии от А поезд и дрезина встретятся, если расстояние между А и В  – 110 км? Опять перед нами типичная задача на встречу, но в условии не указана прямо скорость поезда. Однако ее легко найти, использовав сведения из расписания (обычно расписанием не пользуются для определения скорости поезда). 

Такие задачи полезны для обучения в тех сферах деятельности, где надо научить быстро находить выход в сложной ситуации, возникшей в необычных условиях. Например, в тяжелых случаях закупорки верхних дыхательных путей куском пищи жизненно необходима трахеотомия  – разрез с вставлением трубки в дыхательные пути ниже места закупорки. Но если такое случается в обстановке, где нет ничего привычно необходимого для операции? Описаны случаи, когда положение спасал кухонный нож вместо скальпеля и отбитый носик фаянсового чайника или корпус авторучки вместо трахеотомической трубки. Но, чтобы не потеряться, попав в такую сложную ситуацию, мало слышать об этом на лекции – нужно перерешать много задач такого рода. 

8. Цепочки псевдооднородных задач 

Нехватка знаний – естественная, но не единственная причина невозможности решить задачу. Мы хотим здесь рассмотреть один из случаев, когда задача не решается, хотя у решающего имеется достаточно необходимых знаний. Такая ситуация может возникать, когда для решения предлагаются серии, цепочки в чем-то похожих задач. О пользе способности подмечать сходство говорить не приходится. Но педагогу нужно помнить, что эта способность может и помешать решению задачи. Декарт писал в «Правилах для руководства ума»: «Заметив какое-нибудь сходство между двумя вещами, люди имеют обыкновение приписывать им обеим, даже в том, чем эти вещи между собой различаются, свойства, которые они нашли истинными для одной из них» [2]. 

Психологическая установка, созданная решением первых задач «цепочки», затрудняет решение следующей, хотя и более простой задачи. Эту особенность психологии мышления изучал Лачинс [8]. Испытуемому предлагали несколько задач одинакового типа: «Имеются три сосуда емкостью 21, 177 и 3 л. Как с их помощью отмерить 100 л воды?»

Все задачи решались однотипно: наполнялся большой сосуд, а затем трехкратным отливанием жидкости с помощью меньших сосудов получали нужный объем. После решения пяти-шести задач такого типа испытуемым давали задачу более простую, например: «Имеются три сосуда емкостью в 23, 40 и 3 л. Как отмерить с их помощью 20 л воды?» Решавшие предыдущие задачи предлагали наполнить большой сосуд, затем отлить 23 л и потом Добавить З л. Неискушенные же учащиеся, не решавшие предыдущих задач, решали проще; наполняли 23-литровый сосуд И отбавляли от него 3 л.

Особенно демонстративным было решение такой задачи: «Даны три сосуда емкостью в З, 64 и 29 л. Как отмерить объем в Зл?» Больше половины учащихся предложили наполнить больший сосуд, а затем отлить дважды по 29 л И еще З л. Предупреждения быть внимательными к условию задачи и не допускать нелепых решений не спасали положения.

Геометрическую задачу этого рода см. в очерке «Вероятностное прогнозирование и память в учебной деятельности». 

«Ослепляющую» роль психологической установки при решении цепочки за дач нам вместе с моим ныне покойным другом М. М. Бонгардом случилось продемонстрировать на симпозиуме в Новосибирском академгородке. Вечером после заседания, на котором я сделал доклад о вероятностном прогнозировании, группа участников собралась в кафе. Продолжалось обсуждение тех же проблем, но за столом, вперемешку с шутками, с отдыхом, в живом, дружеском и непринужденном тоне. Сидели за двумя столами. Желая продемонстрировать значение вероятностного прогнозирования, мы предложили соревнование между столами: мы будем задавать вопросы, но просим не отвечать вслух, пока не дадим знак рукой. По взмаху же руки – отвечать громко, чтобы определить, какой стол дружнее.

Вопрос 1. Как одним словом называется листок, в котором проставляются четвертные и годовые оценки успеваемости школьников? Оба стола дружно ответили: «ТАБЕЛЬ».

Вопрос 2. Каким словом называется совокупность проводов, зарываемая в землю и обеспечивающая телеграфную и телефонную связь между городами и странами? Снова дружный ответ: «КАБЕЛЬ».

Вопрос 3. Кто убил Каина? По взмаху руки дружный ответ обоих столов: «АВЕЛЬ». Маленькая пауза. Вдруг поднимается один математик: «А, понял – вы хотели, чтобы я сказал Абель» (Н. Х. Абель (1802-1829)  – знаменитый норвежский математик ). И лишь после новой паузы – дружный взрыв смеха: Каин убил Авеля, а ответ «АВЕЛЬ» был результатом установки, сформированной ответами «ТАБЕЛЬ» И «КАБЕЛЬ». 

Учащемуся, свыкнувшемуся с десятичной системой счисления, трудно освоиться с задачами в двоичной системе. Только десятичная система кажется ему «естественной». Этой трудности не будет, если с самого начала изучения позиционных систем счисления решать задачи из различных систем, среди которых десятичная – один из возможных случаев.

Ошибки медицинской диагностики – «недостаточная» диагностика редкого заболевания в начале эпидемии и «избыточная» диагностика в конце ее – могут явиться даже у знающего врача результатом психологической установки, сформированной «цепочкой задач», в которую вклинивается задача, инородная по отношению к предыдущим. 

9. Задачи на обнаружение возможной ошибки в решении 

Человеку в жизни нередко приходится сталкиваться с такой ситуацией. Задача уже решена кем-то или ЭВМ, И решение это на первых порах не кажется сомнительным. Но реализация или развитие этого решения приводит к абсурду, Следовательно, в решении где-то была допущена ошибка, Чтобы устранить эту ошибку нужно прежде всего найти ее. И вот отыскание чужой ошибки иногда оказывается нелегкой задачей. Человек, не тренированный в обнаружении скрытых ошибок, Порой предпочитает сам заново решить задачу чем отыскивать допущенную ошибку. А это не всегда более экономный путь. 

Итак, при подготовке специалиста необходимо учить его не только решать проблемы, но и обнаруживать скрытые ошибки в готовых решениях. Великий математик Леонард Эйлер говорил: «Когда задачу решает другой, все ясно, когда решаешь сам, ничего не выходит». В зйлеровском «все ясно» содержится и коварный смысл. Не только ясно, когда все правильно, а сам бы решить не смог, но и когда имеется скрытая ошибка (которую, может быть, и не допустил бы при самостоятельном решении).

Приведу пример простой алгебраической задачи со скрытой ошибкой.

Пусть а = b - 0.

Умножим обе части равенства на одну и ту же величину а, что не нарушит равенства: а² = аb. Равенство не нарушится, если мы вычтем из обеих его частей одну и ту же величину b²: а² – b²= аb – b².

Левую часть равенства разложим как разность квадратов, а в правой вынесем b за скобки: (а + b) х (а-b) = b (а-b).

Сократив обе части равенства на общий множитель (а – b), получим: a + b = b или: 2b = b, или 2=1.

Результат абсурден, следовательно, где-то допущена логическая ошибка. Требуется найти ее. Скрытая ошибка состоит в том, что, поскольку по условию а = b, то а  – b = 0, а сокращать на 0 нельзя. 

Второй пример – геометрическая задача («доказательство» равенства прямого и тупого углов).

Возьмем отрезок АВ (рис. За), построим у точки В тупой угол, а у точки А  – прямой угол. На вновь построенных сторонах углов отложим равные отрезки АС и BD. Соединим точки С и D. Из середины отрезка АB восстановим перпендикуляр к нему. Восстановим также перпендикуляр к отрезку СD из его середины. Эти перпендикуляры пересекутся, так как отрезки АВ и СD не параллельны. Обозначим точку пересечения перпендикуляров буквой Е. Соединим точку Е с точками А, В, С и D. Рассмотрим теперь треугольники АСЕ и ВDЕ. Сторона АЕ равна стороне ВЕ, поскольку Перпендикуляр к середине отрезка есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов. По тем же соображениям ясно, что СЕ : DЕ. Отрезки же АС и ВD равны по построению. Следовательно, треугольники АСЕ и ВDЕ равны как треугольники с соответственно равными сторонами. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, угол ЕАС равен углу ЕВD. Но углы ЕАB и ЕВА равны, так как принадлежат к основанию равнобедренного треугольника АЕВ. Следовательно, угол САВ равен углу DВА. Но по построению один из них тупой, а другой  – прямой, Значит, в приведенном выше рассуждении и построении скрыта ошибка. Требуется найти ее.  

                  а                                                  в

                                        Рис. 3

Ошибка в данном случае заключается в неверном построении. Треугольник АЕС при правильном построении располагается не так, как показано на рис. За, а так, как изображено на рис. 3б. 

С развитием вычислительной техники специалист все чаще будет получать вместе с задачей готовое решение, будь то решение технической задачи или диагноз больного. Нечего и говорить о пользе, которую получает специалист от вычислительной техники. Но необходимо, получив готовое решение, оценить его правдоподобность.

Если в результате «сбоя» машина выдала ошибочное решение, а специалист не усомнился в нем, последствия выявят ошибку специалиста, Но может быть и так, что последствия подтвердят правильность машинного решения, хотя решение было не таким, какого следовало ожидать специалисту в соответствии с его теориями. Если в этом случае специалист, привыкший доверять машине, не усомнился в машинном решении, то он не заметит того пункта, в котором его теория требует пересмотра, он прошел рядом с открытием, не заметив его. Ущерб от этого очевиден. 

10. «Мнимые данности» 

 В условиях обычных учебных задач сплошь и рядом учащийся читает в условии больше, чем там сказано. Так, в задаче на встречу поездов указана скорость последних, И учащийся принимает ее как строго постоянную в течение всего пути. Между тем об этом не говорится в условии задачи, а уж в реальной жизни просто никогда не бывает, чтобы поезд мгновенно набирал нужную скорость и так же с полного хода останавливался. Задачи часто только потому и разрешимы, что в их условии подразумевается больше, чем прямо сказано.

Но иногда при решении задачи возникают «паразитные подразумевания», резко мешающие правильному решению задачи. Здесь, как и в цепочке задач, срабатывают психологические установки. Только в цепочке задач установка формируется тут же, при решении данной цепочки задач, а в рассматриваемом случае проявляется установка, сформированная более длительным и давним прошлым опытом. В качестве примера приведем задачу Я. А. Пономарева [4]:

Даны четыре точки, расположенные так, что они лежат как бы в углах квадрата (рис. 4а).

Требуется провести через эти четыре точки три прямые линии, не отрывая карандаш от бумаги, так, чтобы карандаш возвратился в исходную точку. В опытах с большим числом испытуемых Пономарев ни разу не наблюдал правильного решения без подсказки – испытуемые после ряда безуспешных попыток признавали задачу неразрешимой. Решение же весьма просто (рис. 4б).

                    а                                                   б 

                                         Рис 4

Нужно только выйти на пределы воображаемого квадрата, образуемого точками. Все же испытуемые пытались решить задачу, будто им было задано условие оставаться внутри квадрата. 

Другой пример подобной задачи: из шести спичек сложить четыре равносторонних треугольника. Обычно безуспешно пытаются выполнить это на плоскости. Но ведь это ограничение, «домысленное» при чтении условия задачи, – там его нет. Задача решается в трехмерном пространстве (треугольная пирамида). 

Приведем еще две задачи такого типа. Два путника одновременно подошли к реке. Рыбак ловил в этом месте реки рыбу с челнока, в котором может поместиться только один человек. Маршрут путников пересекала река. Можно ли переправить путников через реку на челноке, вернув потом челнок рыбаку?

Задача многим кажется неразрешимой (если не возвращать челнок веревкой) лишь потому, что в условии домысливается: путники подошли с одного берега. Если же они подошли одновременно с противоположных берегов, задача решается легко: переезжает тот, кто на одном берегу с рыбаком, затем второй путник возвращает лодку рыбаку.

Примером такой задачи может служить всем известная задача с волком, козой и капустой. Крестьянин должен перевезти через реку волка, козу и капусту так, чтобы волк не съел козу без присмотра хозяина, а коза – капусту. В лодке помещается, кроме крестьянина, только один перевозимый предмет. Как это сделать? задача кажется некоторым с первого взгляда неразрешимой, потому что домысливается условие перевозить только в одну сторону. Если отказаться от этого условия, задача решается легко: крестьянин перевозит козу (оставшиеся вместе волк и капуста совместимы); затем он перевозит капусту, а козу забирает обратно, затем, оставив козу, перевозит волка; потом, вернувшись за козой, перевозит ее.

Подразумеваемые условия – обычное явление в жизни. Когда врачу говорят: «У больного кашель, насморк и температура», врачу ясно, что у больного повышенная температура. Здесь «мнимые данности» полезны. Но из сообщения о том, что «больной много пьет», опасно заключить, что речь идет об алкоголике, так как речь может идти о диабетике, пьющем много воды. 

                                                *       *       *  

Приведенные выше 10 вариантов задач никоим образом не являются их классификацией. Речь идет лишь о типах задач, которые должны использоваться при обучении наряду с традиционными задачами. В одной и той же задаче может недоставать сведений, необходимых для решения, при наличии лишних. Эти типы задач не являются исчерпывающими. Их выбор зависит от изучаемой дисциплины, стадии обучения и, самое главное, от конечной цели обучения, от того, к решению каких проблем нужно подготовить учащегося.

 Ясно. что есть своя специфика и в преподавании различных дисциплин и в преподавании одной и той же дисциплины разным контингентам учащихся (например, физики  – студентам физфака университета, физфака пединститута, студентам технического или медицинского вуза, инженерам на курсах повышения квалификации). В разных случаях наиболее существенными оказываются разные варианты задач.

По-разному надо подходить и к подбору учебных задач в средней, высшей школе и при последипломном обучении.

Обучая студента, мы должны думать, какие задачи поставит жизнь перед будущим специалистом. И должны отдавать себе отчет в том, что возникнут задачи, которые мы не могли предвидеть. Будущий специалист должен быть готов к встрече с задачами, для решения которых у него недостаточно знаний. Он должен уметь добыть эти знания в ходе решения задачи. Научить его добывать новые знания – дело высшей школы. 

 ` Литература

1. Вероятностное прогнозирование в деятельности человека / Под ред. И. М. Фейгенберга, Г. Е. Журавлева. М., 1977.

 2. Декарт Р. Избранные произведения. М.‚ 1950. С. 79,

З. Обучение логике Диагностического поиска с помощью аппарата ТРЕФ-2 М; ЦОЛИУв, 1971.

4. Пономарев Я. А. Психология творчества. М., 1976.

5. Тонконогий А. В‚‚ Аспандияров Б, Б., Хайдаров С. Учитывать факторы времени // Вестник высшей школы. 1976. № 10. С. 23-26.

6. Фейтенберг И. М. Мозг. Психика. Здоровье. М 1972.

7. Dunker К. On problem-solving // Psichol.Monogr 1945. V. 58.См.также: Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.‚ 1972. С. 57-61.

8. Luchins A.S., Luchins E.H. New experimental attempts at preventing mechanization in problem solving // J.Gen. Psichol. 1950. V/ 42. P. 279-297.

9. McGuire Ch. H., Solomon L.M., Miller G.E. (ed.). Clinical simulations. N.Y., 1971.