«…многие … полагают, что, чем вывод формулы сложнее, тем большего доверия она заслуживает, упуская часто из виду те грубые положения и допущения, которые формулой воспроизводятся, — из лебеды нельзя получить пшеничной муки, как ее ни перемалывать»

                                   А.Н. Крылов, академик 

Инженерные расчеты являются важнейшим этапом современного исследования и проектирования промышленных процессов и конструкций. За последние сто лет эти расчеты развились в отдельную науку, в которой широко используются последние достижения математики, механики и физики.

Точность расчетного предсказания параметров проектируемой конструкции или процесса в значительной степени определяет их надежность и работоспособность. Поэтому усилия ученых и инженеров всегда  направлены на разработку новых более точных и полных методов таких расчетов.

При разработке методики расчета, как правило, возникают  трудности связанные с тем, что на современном уровне развития науки точное описание конструкции или процесса в терминах математики и механики обычно невозможно. Поэтому в расчетную схему приходится вводить упрощения, создавая теоретическую модель, которую уже можно анализировать известными методами.

Допустимость принимаемого упрощения, как правило, проверяют экспериментально. Для этого величину анализируемого параметра измеряют на реальной конструкции и сравнивают ее с величиной, получаемой по упрощенной расчетной модели. Иногда экспериментальное определение очень сложно или, вообще, невозможно и тогда допустимость принятых упрощений обосновывают либо ссылками на сходные случаи, либо опираются на так называемые «общие соображения», т. е. практически принимают без доказательства.  Внутренним оправданием в этом случае является то, что без принятого упрощения теоретический анализ провести невозможно.

Математические процедуры определения искомого параметра при упрощенном описании конструкции (или ее элемента)  называются математической моделью, и эта модель является основой инженерного расчета.

Стремясь повысить надежность расчетного предсказания того или иного параметра, математическую модель уточняют. Уточнение может вестись двумя путями: либо за счет использования более сложных методов математики и механики стараются избавиться от принятых ранее упрощений¸ либо модель уточняют введением так называемых поправочных коэффициентов, которые определяются экспериментально или в некоторых случаях теоретически.

Для повышения эффективности уточнения математических моделей надо иметь критерии целесообразности их уточнения. Ниже проводится общий анализ точности моделей и формулируются некоторые общие методы оценки их целесообразной точности. 

Как говорилось выше, математические модели используются как для исследования, так и для проектного расчета   процесса или конструкции и необходимо учитывать, что с точки зрения целесообразности уточнения это принципиально разные виды моделей. 

Рассмотрим особенности процесса уточнения математической модели для проектного расчета («расчетной модели»).[1]

При уточнении «расчетной модели» необходимо иметь в виду, что ошибки[1] математической модели это не единственный источник ошибок расчета. Дело в том, что исходные данные расчета – действующие нагрузки, размеры, силы трения и т. п. – принимаются на основании справочных данных и данных технического задания на конструкцию. А эти данные неизбежно отличаются от тех, которые будут реализованы при изготовлении и работе конструкции. Так, например, коэффициенты трения для материалов, из которых изготовляются детали конструкции и которые приводятся в справочниках, имеют значительный разброс. Размеры и форма деталей после изготовления имеют отклонения от заданных значений, а нагрузки на конструкцию при ее эксплуатации варьируются в значительных пределах. Практически все исходные данные расчета при изготовлении и работе конструкции случайным образом отклоняются от значений принимаемых при расчете. Таким образом, получается, что конструктор рассчитывает не ту конструкцию, которая будет работать впоследствии, а некоторую другую, по многим параметрам отличающуюся от проектируемой.

Это явление – так называемый «шум исходных данных» - хорошо известен инженерам и поэтому при конструкторских расчетах в исходные данные вводится так называемый «запас прочности» или «коэффициент незнания», использование которого обеспечивает длительную и безаварийную работу конструкции. Другими словами, реально проектируют конструкцию для работы в условиях.  заметно более тяжелых, чем требуется по техническому заданию.

В зависимости от назначения конструкции, полноты ее описания математической моделью, а также от возможных колебаний рабочих нагрузок и от других факторов «запас прочности» изменяется в широких пределах. Так, многие детали самолетов проектируются с запасом прочности в десятки процентов, в то время как в подъемных кранах «запас прочности» принимается десятикратным, а в большинстве конструкций общего машиностроения он равен 2 – 3.

Таким образом, ошибка «расчетной модели» это не единственный источник ошибки в оценке тех или иных параметров конструкции или процесса – неизбежные неточности в задании исходных данных расчета вносят свою долю в ошибку предсказания величины параметра. Кроме того, необходимо учитывать, что истинную величину рассчитываемого параметра можно получить только путем эксперимента. Поэтому к суммарной ошибке расчета надо добавить и ошибку экспериментального определения величины параметра.

Отсюда видно, что суммарная ошибка расчета состоит из трех составляющих: ошибки «расчетной модели», ошибки расчета, возникающей за счет «шума» исходных данных и ошибки эксперимента.

В теории ошибок такая суммарная ошибка выражается формулой:                            

                         (1)         

где d₁, d₂, d₃ – ошибки математической модели, «шума» исходных данных и эксперимента.

В теории и практике технических измерений обычно принимается, что ошибка контркалибра (т.е. калибра, которым проверяют рабочие калибры) должна быть порядка одной третьей ошибки рабочего калибра.

Можно проверить статистическую неразличимость ошибок измерения с точным контркалибром и контркалибром, с ошибкой в 1/3 ошибки калибра по критерию Фишера [2]. Оценка по этому критерию показывает, что при использовании  «правила одной третьей» статистическая неразличимость ошибок гарантируется с очень большой степенью достоверности, и поэтому оно будет использоваться далее в статье. Существенно, что допустимость этого правила гарантируется не только статистическими расчетами, но и многолетней практикой работы метрологических служб.

Как следует из этого правила для того, чтобы суммарная ошибка расчета не увеличивалась статистически значимо, ошибка «расчетной модели» должна быть примерно 1/3 от суммарной ошибки «шума исходных данных» и ошибки измерения, т.е. 

                                 (2)

«Расчетную модель», уточнение которой не улучшает соответствие расчета с экспериментом можно назвать «условно точной» моделью, и проведенный выше анализ показывает, что модель, ошибка которой отвечает условию (2) является «условно точной».

Очевидно, что уточнение «условно точной» модели нецелесообразно и влечет за собой ненужные расходы на уточнение модели. Кроме того, уточнение модели обычно повышает ее сложность и увеличивает затраты времени при ее изучении и применении.

Необходимая для оценки ошибки «расчетной модели» «ошибка исходных данных» может быть получена путем статистического моделирования, на каждом шаге которого исследуемый параметр конструкции вычисляется с исходными данными, которые имеют случайные  отклонения. Проведя эти процедуры для нескольких точек области исходных данных можно получить достаточно надежную оценку величины «ошибки исходных данных».

Для определения того, является ли «расчетная модель» «условно точной» надо провести экспериментальное определение исследуемого параметра в тех же точках, в которых проводилось моделирование «шума» исходных данных. По результатам этого эксперимента можно определить полную ошибку расчета d. Зная, кроме того, ошибку «шума исходных данных» d₂ и ошибку измерения d₃, ошибку «расчетной модели»  d₁ определяют по ф-ле:                       

                                                   (3)

Если вычисленная таким образом ошибка «расчетной модели» отвечает условию (2), то проверяемая модель является «условно точной» и уточнять ее нецелесообразно. 

Значительной частью проектных расчетов являются прочностные расчеты конструкции.

В ходе прочностного расчета проверяется выполнение условия:

                             [s] > s_расч

            где

                        [s] – допускаемое напряжение в детали

                        s_расч – напряжение в детали, рассчитанное по         «расчетной модели».

Допускаемое напряжение [s] это обычно значение предела текучести или предела усталости материала детали, уменьшенное на величину запаса прочности, который для разных случаев рассчитывается по-разному. Величины предела текучести и предела усталости для различных материалов приводится в справочниках, и являются случайными величинами со значительным внутримарочным разбросом. Так, среднеквадратическое отклонение величины предела текучести для углеродистых  сталей обычно находится в пределах 5 – 8 %  от среднего значения, а среднеквадратическое отклонение предела усталости для них достигает 10-12%.

Используя «правило 1/3» можно сразу написать выражение для оценки точностной характеристики «условно точной модели» прочностного расчета.

Она имеет вид:                                  

где d₁, d₂, d₃ , d₄ – ошибки математической модели, «шума» исходных данных , эксперимента и прочностных свойств.          

Проверка на условную точность модели и в этом случае должна проводится аналогично вышеизложенному. 

В начале интенсивной разработки инженерных методик расчета уточнение «расчетных моделей» было оправдано и давало большой эффект. По мере уточнения расчетов уменьшалось количество аварий, и сокращался вес машин. Так как «расчетные модели» непрерывно уточнялись, а ошибка эксперимента и ошибка шума исходных данных уменьшалась мало, то к настоящему времени «расчетные модели» уже подошли или подходят к тому, чтобы считаться «условно точными».

Поэтому перед проведением исследовательской работы для уточнения той или иной «расчетной модели» сегодня экономически целесообразно проводить проверку модели на условную точность.

Выше показано, что при проектных расчетах  нет необходимости использовать «расчетные модели» высокой точности.

Совсем другая ситуация возникает при рассмотрении моделей, которые используются для математического моделирования процессов и конструкций. В этом случае по самой природе процесса моделирования отсутствуют и ошибки шума исходных данных и ошибки измерения.

Поэтому здесь целесообразная точность модели ограничивается только  уровнем развития соответствующих разделов математики, механики и физики, а также вычислительными возможностями исследователя.

Литература 

1. В.М. Луговской. О надежности расчетных предсказаний и целесообразной точности математических моделей процессов и конструкции. Сборник «Автоматизация умственного труда в машиностроении» - Москва, изд. АН СССР, 1969 – 22 стр

2. Б.Л. ван дер Варден  Математическая статистика. Москва, Изд. Иностранной литературы, 1960 г.