Неустранимое противоречие системы образования – ускоряющийся рост объема и сложности информации при ограниченном сроке обучения.  

Срок этот задан природой, а рост начался не вчера. А потому  экстенсивный путь его разрешения безнадежен: любая очередная такая попытка не будет последней по определению, и все они  равно бесполезны и безнравственны.  Переход с 10 на 11 лет, по моим наблюдениям, не только не улучшил ситуацию, но и сопровождался дальнейшим ее ухудшением.

Добавление двенадцатого года обучения означает прибавку учебного времени на 9%. Но эти проценты проблему не решают, тут нужно изменять напряженность в разы. А если это достижимо другим путем, то надобность в этой жалкой добавке отпадает, и “лишние” ресурсы лучше использовать для уменьшения наполняемости классов – резерв вполне реальный. А для жизни – год добавка отнюдь не жалкая.  

Любое высказывание на тему “что делать” будет неизбежно повторять уже сказанное ранее. Но приходится, потому что усилия апологетов экстенсивности не прекращаются. 

Антипод экстенсивности – интенсивность. Само слово провоцирует вопрос о перегрузке. Я под интенсивностью в данном контексте понимаю достижение максимального результата при минимуме усилий и затрат. Ведь бессонные ночи, зубрежка и корпение над учебниками и заданиями – это та же экстенсивность, только не оптом, а в розницу. 

Моя цель – показать реальную достижимость интенсивного (в указанном смысле!) пути. И сделать это я хочу на примере самой проблемной из школьных наук – высшей математики (ВМ). Роль ее в образовании уникальна, но, как ни странно, и посейчас далеко не всеми понята. 

Если школьные проблемы ВМ по-настоящему осознать и решить, то аналогичные вузовские проблемы переместятся на новый, более высокий уровень. Но пока этого не произошло, о тех и других приходится говорить как об одном и том же, поскольку не сделанное в школе неизбежно приходится доделывать и переделывать в вузе. Либо математическое образование оказывается попросту фиктивным (что и наблюдается). 

Пока это так, у вузовских технарей, не лишенных чувства ответственности за конечный результат, остается последний шанс хоть что-то спасти, отрывая от своих кровных часов крохи для латания дыр в предыдущем образовании. И здесь приходится говорить о ВМ все в том же школьном ключе.  Именно такой путь вовлек меня в эту проблему. 

Существует мнение, что основы ВМ нужно вообще удалить из программ средней школы. Мнение неправильное. Великолепно сказал об этом Валерий Босс [1].

“Математика – самоценная вещь. Ингредиент глубинного развития человека. Угол зрения типа: “а какой толк от математики?” аналогичен взгляду на музыку, как на средство повышения удоев молока – что имеет основания, но не улавливает суть.

Чисто прагматичный взгляд губит все, что попадает в фокус. Конкретная польза от математики не столько в бухгалтерии и космических полетах, сколько – в психологии. Знание математики влияет на стиль жизни, мышления, решения бытовых и гуманитарных проблем. Незаметно, исподволь – но кардинальным образом. Знание математики – это другой фундамент для психологической надстройки. Амулет баланса и магнит стремления к абсолюту”.   

Итак, раздел этот не убирать нужно, а сделать "съедобным". Школьной ВМ (так же, впрочем, как и ВМ в технических вузах) незачем быть сокращенным подобием университетского курса. На стиль жизни и мышления влияет не умение обосновывать теоремы, где конечный результат изначально очевиднее доказательства, а живое владение основными понятиями и инструментами. 

Все способы повышения интенсивности подразделяются на два пути. Один основан на использовании педагогической техники. Другой – на принципах онтодидактики. Признавая значимость первого, я буду говорить преимущественно о втором.

Напомню, что онтодидактика подразумевает вторжение в глубину изучаемой науки, с переработкой, иногда радикальной, содержания и способов изложения в научном плане [2].

Классический пример этого рода – таблица Менделеева. А самый впечатляющий – внедрение десятичной системы счисления, растянувшееся в Европе на 800 лет, если началом считать первые латинские переводы с ее описанием, а концом – прекращение чеканки русских монет с буквенной нумерацией при Петре Первом.

П.Лаплас, изучая вопрос о причинах столь позднего появления и медленного распространения десятичной системы, заключил, что “виновна” ее простота: никак не могли понять, какая за нею глубина.

Одним из активных ее распространителей был Папа Римский Сильвестр 2, он же математик Герберт Аврилакский (946-1003), тот самый чернокнижник, разбирать рукописи которого приезжал в Москву булгаковский Воланд. Он поражал воображение современников феноменальной скоростью счета. Кто желает удостовериться в секрете феномена, пусть проделает арифметические действия с римскими числами.

Следующим энтузиастом нововведения был Л. Фибоначчи (1170 - 1250). Инициатива не осталась безнаказанной: инквизиция обвинила папу в потворстве сарацинской ереси. Много позже на Руси православная церковь обвиняла в том же отечественных энтузиастов, только ересь называли католической.

Но это все примеры старые, давно известные, отработанные и в чем-то даже подзабытые. А остались ли у такой старой науки, как математика, еще сколько-нибудь значимые онтодидактические резервы? 

Для начала – несколько общих замечаний: 

Не обязательны новые научные открытия, чтобы оптимизировать изложение. Важны правильный отбор, логические цепочки, последовательность изложения.

Часто новое – это хорошо забытое старое. Иногда нужно отказаться от излишних новаций (типа бурбакизации, которая имеет свой смысл, но не для начального этапа обучения).

Кратчайший путь к истине обычно находят много позже того, как она обнаружена долгим и трудным окольным путем. 

И опять обратимся к В.Боссу[1].

“Время меняет ситуацию. Традиционные курсы дифференциальных уравнений стареют, и простого выхода из положения нет. С одной стороны, ясно, что тематику надо расширять, иначе молодые побеги будут расти сквозь асфальт.

С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении. ... В итоге одно противоречит другому – и стандартных мер недостает. Единственное средство – тривиализация дисциплины. Математика, как и человек – иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому ... немало лишнего, вычурного, случайного, и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Затем переосмысливание и переоценка.

Потом отказ от второстепенных деталей. Не насовсем, конечно. Но из “основ” многое – что загромождает – можно и нужно вынести за скобки. Наконец, пора вспомнить, что успех достигается только играючи, вслед за удовольствием. Кто учится говорить с натугой – остается немым”. 

Итак, главное сказано. Ключевые слова здесь – тривиализация, переосмысливание, отказ от второстепенных деталей, учеба играючи, вслед за удовольствием.

Но меня давно занимал вариант реализации этих принципов, доведенный до крайней их степени, в гораздо большей мере, чем это сделано даже автором цитаты. Такой вариант я попытался дать в электронном учебном пособии, ориентированном главным образом на помощь жертвам школьной и вузовской математики для осмысленного восстановления знаний и умений самого начального уровня. Чтобы облегчить восприятие, выполнил его в виде презентации. На сайте [3] помещено пособие и дополнительные материалы к нему, включая комментарий для преподавателей.

В основу пособия положены следующие принципы. 

1)                   Сведение к минимуму элементов теории пределов.

2)                   Выделение в отдельный раздел теории линейных функций и введение первоначально в нем понятий производной и интеграла.

3)                    Включение минимальных сведений о пределах – два замечательных предела – лишь после освоения понятий производной и интеграла для линейных функций.

4)                   Введение понятия интеграла изначально как определенного интеграла, и лишь после этого неопределенного интеграла, как вспомогательного служебного действия. Взаимная обратность дифференцирования и интегрирования не постулируется, а доказывается на простейшем примере.

5)                   Включение в курс минимальных и адаптированных сведений о методе структурных схем (МСС) и обоснование с его помощью техники дифференцирования, включая и вывод большинства правил.

 О пределах. Разумеется, это ключевое понятие для ВМ как науки, и роль теории пределов была велика на этапе ее становления, но это совершенно не значит, что она такова же при обучении начинающих, притом вовсе не будущих математиков. Если понятия производной и интеграла вводить первоначально только для линейных функций, то пределы вообще не нужны. Мне, конечно, возразят, что для этого случая не нужны и сами эти понятия. Отвечу: они, конечно, для него не нужны, но он-то нужен для них. Показать на пальцах смысл производной и интеграла – противоядие от бездумного поглощения “строгих формулировок”.

Такие формулировки после этого можно вводить – но не для обоснования понятий, а для их обобщения на нелинейные функции. А это совсем другое дело, чисто техническая задача, которая не собьет с толка: основополагающие понятия потроганые руками. 

Если не вдумываться в разницу между научной и педагогической задачами, можно не понять, о чем идет речь. Поясню другими словами. Когда в муках рождались понятия производной и интеграла, для тех, кто был к этому причастен, не существовало проблемы понять, что производная (еще не имевшая названия) характеризует крутизну линии. Это им было ясно изначально. Открытием было то, что это предел отношения приращений функции и аргумента при стремлении их к нулю. Но сегодняшнему ученику пытаются вбить в голову это определение, когда он еще не осознал, что речь идет о местной крутизне тропинки на склоне горы, по которой он идет. Результат – полное непонимание.

Вот конкретный опыт. Группе студентов 3-го курса дается тест: построить график производной для кусочно-линейной функции из трех отрезков, начиная с самого крутого, второй положе, третий горизонтальный. За многие годы не было случая, чтобы с ним справились более 1-2 человек из группы, нередко результат был нулевой. Эпизодически тот же опыт проводился с первокурсниками и со старшими школьниками – с тем же результатом. 

Это означает, что к моменту, когда ВМ непосредственно потребовалась как опора для изучения технических дисциплин, ею не владеет практически никто. Формальное знание отдельных правил не в счет. Итак. Есть три уровня в определении понятия производной. Это, во-первых, характеристика крутизны. Во-вторых, отношение приращений функции и аргумента, и, в-третьих, предел этого отношения.

Первое – это качественная оценка, правополушарный образ. Второе – количественная оценка для прямой, третье – то же для кривой. Вводя понятие в такой последовательности, идут от простого к сложному. Начиная сразу с третьего (предел), добиваются изначального тумана в головах учащихся, что и наблюдаем. 

Разумеется, нельзя отрицать, что есть таланты, способные усваивать и такой левополушарный поток мысли, и самостоятельно строить соответствующий правополушарный образ. Но это – редкие исключения. Вот отсюда и возникла идея вначале ввести понятие производной для линейной функции, а потом – для еще более простого случая горизонтальной линии – ввести понятие интеграла, как площади, тут же показав и взаимную обратность этих действий.    

О порядке введения понятия интеграла Р.Курант [4] справедливо указывал:

“В некоторых руководствах содержание этой основной теоремы (Ньютона-Лейбница -А.Ш.) затемняется вследствие неудачно выбранной терминологии. Именно, многие авторы сначала вводят понятие производной, а затем определяют «неопределенный интеграл» просто как результат операции, обратной по отношению к дифференцированию…. Только позднее вводится понятие «определенный интеграл», трактуемое как площадь или как предел последовательности сумм, причем недостаточно подчеркивается, что слово «интеграл» обозначает теперь нечто совершенно другое, чем прежде. И вот оказывается, что самое главное, что содержится в теории, приобретается лишь украдкой – через заднюю дверь, и учащийся встречается с серьезными затруднениями в своих усилиях понять существо дела”. 

Все же хочу усилить сказанное им. Применительно к нынешним реалиям, приходится говорить не о “некоторых руководствах”,  а практически о всех учебниках и лекционных курсах, и дело не в “неудачно выбранной терминологии”, а в дезориентирующей последовательности изложения основ анализа. Когда интегрирование вводят через неопределенный интеграл, то вспомогательное служебное средство ставится на неподобающее ему центральное место, а основное идейное содержание, заключенное в понятии определенного интеграла, дается вскользь, в качестве примера на приложение. Кроме того, ученик длительное время занимается трудной работой (учится брать интегралы), не понимая, для чего он ее проделывает.

И еще одно. Когда на простейшем примере доказывают обратность интегрирования дифференцированию, это повод удивиться, которого лишают, вводя эту обратность как изначально заданную. Но ведь сказано: “успех достигается играючи”, а какая же игра без удивления? 

Редкое исключение составляет книга  Я.Б.Зельдовича [5], где вначале дается определенный интеграл, и вообще – понятное изложение не только декларируется, но и реализуется. Все же, соединение этой идеи с выделением линейных функций усиливает тривиализацию, доводя ее до логического предела. 

Использование МСС в математике требует специального комментария – не для того, чтобы его здесь изучать, а чтобы оценить соотношение трудозатрат с эффективностью [6].

МСС был создан для исследования поведения сложных систем. Но лежащее в его основе простое рациональное зерно в общепринятых изложениях парадоксальным образом скрыто от осознания.

По своей сути, это рациональный прием дифференцирования сложных и неявно заданных функций (ДСНФ). Невероятно, но эта простая мысль столь казуистически спрятана в хитросплетениях формул и логических построений, что о ней не знает практически никто ни из математиков, ни из привычных пользователей метода. Мне в свое время пришлось ее добывать по рецепту мальчика из анекдота. На вопрос, откуда берут изюм, он отвечал: выковыривают из французских булок. Как сказал по другому поводу Р.Курант, основное содержание дается украдкой, через заднюю дверь. 

Процедура ДСНФ состоит из двух видов принципиально различных действий: собственно дифференцирование и сопутствующие алгебраические преобразования, включая решение уравнений. Обычное выполнение их вперемешку нарушает основной принцип научной организации труда (НОТ): разделять разнородные и объединять однородные операции во времени и (или) пространстве. Это раздваивает внимание и служит главным источником ошибок, к тому же трудно выявляемых.

МСС вносит в процедуру именно этот принцип НОТ, резко ее упрощая. Но в нашем случае и этого мало. Ведь правила преобразований схем выводятся через правила дифференцирования функций, а мы хотели бы и сами правила дифференцирования выводить через МСС. Поэтому нужно вывести их независимо, до обобщения понятия производной и без использования правил дифференцирования. 

Этот путь вполне реален и весьма прост, если начинать и здесь с линейного случая. Ведь главный секрет метода –  в том, что уравнения, связывающие между собой производные, всегда линейны, независимо от вида уравнений, связывающих сами переменные.

Запись системы уравнений заменяется изображением ее структурной схемы, лучше всего в форме ориентированного графа. Самого названия граф я избегаю по единственной причине – под этим термином могут пониматься совершенно разные вещи.

Все переменные изображается узлами, а связи между ними – стрелками, направленными от аргумента к функции, или от причины к следствию. Последнее требует уточнения, поскольку иногда отрицают способность математики различать направление причинно-следственных связей (ПСС). При этом приводят пример: если пишут, что v=f(R), это не означает, что радиус шара есть причина, а объем – его следствие. Но именно этот пример и позволяет опровергнуть такое отрицание. Если шар вытачивать на токарном станке, то первично задается радиус, и объем, несомненно, зависит от него. Если же из отмеренного количества некоей субстанции отлить шар в невесомости, то его радиус, столь же несомненно, зависит от объема. Итак, хотя математические формулы нечувствительны к ПСС, элементарные физические соображения всегда позволяют правильно расставить направления стрелок на структурной схеме, и это одно из главных достоинств метода. Значимость МСС обусловлена не только и не столько внутри-математическими, сколько междисциплинарными связями, хотя здесь идет речь только о первых. 

Правильно составленная схема должна иметь хотя бы один независимый вход – узел, в который не приходит ни одна стрелка.

Каждой стрелке приводится в соответствие коэффициент передачи (КП). Для линейных уравнений КП – это отношение приращений функции и аргумента при постоянстве всех аргументов, откуда приходят остальные стрелки в тот же узел. Для нелинейных уравнений КП – частная производная, взятая для тех же условий. Эквивалентными преобразованиями схему можно свернуть до единственной стрелки от входа к выходу, получив при этом ее результирующий коэффициент передачи (РКП), который как раз и есть полная производная выхода по входу. Свертывание производят за один или несколько последовательных этапов, исключая промежуточные переменные (узлы). Эквивалентность обеспечивается соблюдением следующих основных правил.

1)                                                                                                                           КП двух или нескольких последовательных стрелок при их замене одной – перемножаются.

2)                                                                                                                           То же, для параллельных стрелок – складываются.

3)                                                                                                                           Удаляя петлю обратной связи при некотором узле, КП всех стрелок, приходящих в этот узел, делят на знаменатель вида: единица минус КП удаляемой петли (именно минус, а не плюс-минус, как принято в ТАУ).

Поясним, что петель при узлах первоначально может и не быть, они образуются по ходу свертывания при наличии замкнутых контуров. Если контуров нет, то в системе нет и уравнений: вся она решается простыми последовательными подстановками по первым двум правилам. 

Процедура ДСНФ при этом подразделяется на три независимых этапа.

1)                                                                                                                                                 Составление схемы связей между переменными.

2)                                                                                                                                                 Определение КП частных связей.

3)                                                                                                                                                 Свертывание схемы. 

Главную часть умственной работы составляет первый этап, хотя и не содержащий никаких вычислительных действий. Он состоит в разбиении сложной функции на промежуточные переменные и выявлении связей между ними. Собственно дифференцированием является второй этап, причем третий этап при необходимости можно  выполнить и до него.

Эта же процедура есть и решение уравнений методом линеаризации. Для линейных уравнений оно является точным, а для прочих – приближенным.

Легко видеть, что простейшая версия МСС по трудозатратам для усвоения ничтожна, не требует никаких предварительных сведений и вполне доступна школьникам средних (5 – 7) классов. В отличие от нее, полная версия, используемая “на законных основаниях” в теории автоматического управления (ТАУ), требует большой предварительной подготовки. Характеристики структурных схем и их звеньев (стрелок) в ней – не КП, содержащие информацию только о статических свойствах, а передаточные функции, несущие информацию о динамических свойствах. Для введения этого понятия используется специальный раздел математики – операционное исчисление, а для этого также теория дифференциальных уравнений и теория функций комплексного переменного. Первое и третье входят, как дополнительные главы, в вузовские программы 2-3 курса для избранных специальностей.

Здесь об этом более высоком уровне достаточно знать, что он существует, и что правила свертывания и преобразований схем в нем не отличаются от изученных на простейшем уровне. Для тех, кому он понадобится в будущем, простейшая версия МСС –  прекрасная промежуточная ступень. Приобретенные при ее изучении навыки полностью сохраняют свое значение, а для всех остальных (коих большинство) они попросту самодостаточны.

Идею добавить МСС в курс математики в одной из дискуссий назвали кибернетическим бредом. Бред – не менее звучно, чем ересь, а кибернетическая – не хуже сарацинской или католической. Да и саму кибернетику, было время, называли лженаукой. Впрочем, от кибернетики у меня лишь слабый намек. 

А теперь по серьезному. В каком учебнике математики четко сказано, что только три (а без линейного случая – два) правила дифференцирования требуют независимого вывода с однократным использованием двух замечательных пределов, а все остальные выводимы из них без единого предельного перехода? И что страшный сон из студенческих воспоминаний – дифференцирование показательно-степенной функции – ничуть не сложнее, чем для тангенса или произведения? Да только лишь перечисленное уже окупает все трудозатраты по освоению МСС.

А ведь это всего лишь верхушка айсберга. Здесь даже еще не использовано третье правило, а ведь там, где нет петель, нет и уравнений, а их-то рассмотрение и составляет главный интерес.

Относительно МСС можно повторить отдельно процитированное ранее о самоценности математики и ее влиянии на стиль жизни и мышления. Владение им равносильно повышению уровня умственных способностей. Особенно он полезен, когда мысль еще только зарождается и не выкристаллизовалась в четкую логическую форму. Дисциплинируя мышление, он помогает такой кристаллизации, извлекая мысль из подсознания. Но это уже не математика, а ее использованию в творческих областях, в том числе – и здесь это важно подчеркнуть – в экологических исследованиях.  

Пособию [3] многого недостает, но оно демонстрирует возможность безболезненного введения элементов ВМ в школьный курс и показывает, каким образом это можно делать. Авторы последующих учебников могут воспользоваться предложенной последовательностью в качестве основы и дополнить ее недостающими звеньями.  

Неожиданное свидетельство в пользу сказанного – описанная ниже история пособия в Интернете. 

Без моего ведома, незавершенную версию пособия переписали в файлообменный сайт [7], и именно здесь оно пользуется особенно большим спросом (о чем я узнал случайно). По числу скачиваний, на  октябрь 2012 г. достигшему почти 22000, она обогнала во много раз более полноценную, регулярно обновляемую версию [3].  Я не возражал бы против такого использования моих трудов, даже приветствовал бы его, если бы не потери, которые несут читатели из-за того, что мне не удалось договориться с издателями сайта о замене файла на более завершенный и избавленный от ошибок и накладок. Наиболее безвредная из таковых – воспроизведение моей фамилии на титуле в нечитаемом виде.

И все же, пособие нашло своего читателя (точнее, читатель нашел его), а о накладках считаю нужным всех проинформировать.

По иронии судьбы, эта версия оказалась размещена на одной странице с работой В.Босса [1] и сразу вслед за ней, превзойдя ее по рейтингу более, чем в 20 раз. Это похоже на дурной анекдот, но вполне согласуется с результатами ранее упомянутого теста. При таком уровне знаний нужна именно такая “скорая помощь”.

Оценивая труды В.Босса высочайшим образом, и отдавая себе отчет в том, что [3] и [1] несопоставимы ни по объему, ни по уровню, я, тем не менее, прихожу к выводу, что и работа “моего уровня” по своему востребована, и был бы счастлив, если бы она оказалась достойной промежуточной ступенькой и трамплином для перехода затем на “его уровень” (или, для начала, на уровень работы [5]).

С другой стороны, этот результат (и полученные письма читателей) можно считать голосованием в пользу предложенного способа замены экстенсивности интенсивностью.   

Литература

1.                   Валерий Босс. Лекции по математике. http://mgyie.ru/index.php?option=com_remository&Itemid=30&func=select&id=7&orderby=2&page=2

2.                   Ю.Соколовский. Сколько стоит время. Известия, 1973, 29 ноября, №280 (17513)

3.                   А.Б.Шур. Авторская библиотека: http://deming.ru/Statyi/ShurBiblioteka.htm

                       1. О математике для преподавателей.       1.1.      1.2.      1.3.      1.4. 

                       2.   О математике для учащихся.

                Математика для чайников: не роскошь, а хлеб насущный.  

                 2.1.      2.2.      2.3.      2.4.  

4.                   1.  Р.Курант. Что такое математика.

             2.  А.Б.Шур. Перечитывая Куранта. http://elementy.ru/blogs/users/ashur/51926/

5.                   Я.Б.Зельдович, И.М.Яглом. Высшая математика для начинающих физиков и техников. 1982.

6.                   1. Метод структурных схем – средство усиления способности воспринимать и перерабатывать информацию.      http://deming.ru/Statyi/ShurBiblioteka.htm, 1.3.

                   2. А.Б.Шур. Пребывание математического метода вне математики – затянувшийся противоестественный анахронизм.                    Там же, 3.1.  

              3. А.Б.Шур. Размышления по поводу метода структурных схем и ответы возможным оппонентам.    Там же, 3.3

       7. Основы высшей математики для чайников, Файлообменный сайт МГУИЭ, http://mgyie.ru/index.php?option=com_remository&Itemid=30&func=select&id=7&orderby=2&page=2 

Примечание. Номера, набранные курсивом, относятся к рубрикации авторской библиотеки на сайте [3].